满涛--组合初步.doc

2012 年江苏省中学数学奥林匹克夏令营 组合初步·满涛12012 年江苏省中学数学奥林匹克夏令营讲座组合初步（竞赛题）例题：1、 （2012 年 5 月日本算数奥林匹克广中杯中学组试题）例如，将 520 和 12 连写可以组成 52012，将 5 和 2012 连写也可以组成52012，将 5、201 和 2 连写，或者将 5、20、12 连写，组成的当然也是52012那么，将若干个（至少两个）正整数连写，组成 2012012012012 的方法有 种. 2、 （2010 年 2 月 AMC-12B，17）把 1～9 九个不同的自然数填入下图 3×3 的正方形小方格中，每个小正方形格填一个自然数，不同小正方形格应填入不同的自然数；为使每行相邻的两个数左边的小于右边的，每列的两数上面的小于下面的.问共有 种不同的填法.3、 （2011 年 8 月，中国数学会“我爱数学夏令营”第二试试题）若 ，且 及 .则满足条件的有序500dcbacbda93ad四元整数组 的个数为___________.),(4、 （2010 年元月，第十四届全国华杯赛总决赛补赛试题）两条平行线上共有 k 个点 ,用这 k 个点恰可以连接 1309 个三角形, 那么 k 是多少？2012 年江苏省中学数学奥林匹克夏令营 组合初步·满涛25、 （2011 年 7 月，第十六届全国华杯赛总决赛初中组试题）用长度分别为 1、2、3、……、50 的木条去摆三角形，每次取三根木条作为三角形的三边，三边长度分别为 , 其中 , 则三元序组 最cbacb),(cba多有 种不同的取法.6、 （2010 年元月，第十四届全国华杯赛总决赛补赛试题）将数码 1，2，3，4，5，6，7 排成一行，满足下列 2 条件：（1）至少有一个偶数数码 k 排在左起第 k 位；（2）任意连续 3 个数码之和都是 3 的倍数. 问：满足上述条件的排列最多有多少种？写出所有的排列.7、 （2010 年 8 月，中国数学会“我爱数学夏令营”第二试试题）王强有四种颜色的小圆棒，下表列出不同颜色圆棒的长度.颜色 绿 粉红 紫 红长度 3cm 4cm 8cm 9cm现要取若干根小圆棒接起来连成长度为 2010 cm 的长棒，而且四种颜色的小圆棒每一种都至少用 81 根，那么不同的取法共有 __________种. 2012 年江苏省中学数学奥林匹克夏令营 组合初步·满涛38、 （2009 年 3 月，全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题）设 ，则自然数 x， y， z 的乘积能被 10 整除的情形有 种.6,1zyx9、 （排列组合中的反问题）若干支球队分成 4 组，每组至少两队，各组进行单循环赛（组内每两队都要比赛一场） ，共比赛了 66 场. 问：共有多少支球队? （写出所有可能的参赛队数）10、 （考虑递推）（1） 、身高两两不等的 6 个人排成一列，每个人都比前面的人高或都比前面的人矮.则符合条件的排法数有 种（用数字作答）.（2） 、整数 1，2，…，n 的排列满足：每个数或者大于它之前的所有数，或者小于它之前的所有数. 试问有多少个这样的排列？11、平面上有 6 个点，其中任何 3 个点都不在同一条直线上，以这 6 个点为点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？2012 年江苏省中学数学奥林匹克夏令营 组合初步·满涛4作业：1、 （2011 年 3 月，全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题）马路上有编号为 1，2，3，…，2011 的 2011 只路灯，为节约用电要求关闭其中的 300 只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。

（用组合数符号表示）解答：问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯，所以共有 种关灯方法3017C2、 （2012 年，全国高中数学联赛湖北省赛区预赛试题）设集合 ， 是 的子集，且满足 ， ，}12,3,{S},{321aAS321a52那么满足条件的子集 的个数为 ．答案：1853、 （2012 年 6 月日本算数奥林匹克决赛广中杯试题）m×n 的矩形被分成边长为 1 的小正方形在每个小正方形里画出两条对角线考虑在这个图形中将若干个小等腰直角三角形的区域涂黑的方法数，且任何两个有公共边的区域不能同时涂黑例如，m=1，n=1 时，将 2 个区域涂黑的方法有下列 2 种：（即使旋转或翻转后相同，也视为不同的方法）m=2，n=1 时，将 4 个区域涂黑的方法有下列 3 种：⑴m=3，n=3 时，将 18 个区域涂黑的方法有多少种？⑵m=3，n=3 时，将 17 个区域涂黑的方法有多少种？⑶m=40，n=30 时，将 2399 个区域涂黑的方法有多少种？⑷m=40，n=30 时，将 2 个区域涂黑的方法有多少种？2012 年江苏省中学数学奥林匹克夏令营 组合初步·满涛54、恰有一个数码是 6，且能被 3 整除不大于 2009 的自然数共有多少个?答案：152 个。

5、有 20 名歌手参加的比赛中，9 名裁判员分别给他们判定从 1~20 的名次.已知每一个歌手得到的名次中，各名次之差不超过 3.若每个歌手所得到的名次的和排成递增序列： ，则 的最大值为____________.2021C 1答案：24。