3.3直线的交点坐标与距离公式.doc

直线的交点坐标与距离公式教学目标：直线和直线的交点，二元一次方程组的解；掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题；体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题；理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式.教学重点，难点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两直线相交与二元一次方程的关系两点间距离公式的推导；应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式及公式的理解与应用. 两条直线的交点坐标已知两条直线： l1：A1x+B1y +C1=0, l2： A2x+B2y+C2=0相交，如何求这两条直线的交点坐标？看表，并填空 几何元素及关系代数表示点A A（a，b）直线ll：Ax+By+C=0点A在直线上直线l1与l2的交点A如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？一般地：将两条直线的方程联立，得方程组：有下列结论：①若二元一次方程组有唯一解，l1与l2相交②若二元一次方程组无解，则l1与 l2平行③若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合例题1：求下列两直线交点坐标l1：3x+4y-2=0l2：2x+y +2=0 解：解方程组 得 所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2），如图3。

3例2 判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点坐标⑴ l1：x-y=0， l2：3x+3y-10=0⑵ l1：3x-y=0， l2：6x-2y=0⑶ l1：3x+4y-5=0， l2：6x+8y-10=0例3 当λ变化时，方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标⑴可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点⑵找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论⑶结论，方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合例4 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程例5 求经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直的直线方程例5 设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围. 两点间距离已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)，如何求两点P1、P2的距离| P1P2|？从P1、P2分别向y轴和x轴作垂线，垂足分别为直线相交于点Q。

在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点P2向y轴作垂线，垂足为，于是有所以， =由此得到两点间的距离公式例1 已知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ，并求的值解：设所求点P（x，0），于是有由 得解得 x=1所以，所求点P（1，0）且 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为所以，所以，因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三步；把代数结果“翻译”成几何关系例3 (1)证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等(2)在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。

3)点（0，5）到直线y=2x的距离是——点到直线的距离 点P0到直线 的距离是指点P0到直线 的垂线段Ｐ０Ｑ的长度，其中Ｑ是垂足．画出图形，分析任务，理清思路，解决问题方案一：设点P０到直线的垂线段为P０Q，垂足为Q，由P０Q⊥可知，直线P０Q的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线P０Q的方程，并由与P０Q的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜P０Q｜，得到点P０到直线的距离为d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A≠0，B≠0，这时l与ｘ轴、ｙ轴都相交，过点P０作ｘ轴的平行线，交l于点；作ｙ轴的平行线，交l于点，由　　　得.（也可以P０Ｒ：ｙ＝ｙ０与，解得）所以，｜P０Ｒ｜＝｜｜＝｜P０S｜＝｜｜＝｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：ｄ·｜ＲS｜＝｜P０Ｒ｜·｜P０S｜所以　　　　　　　　　可证明，当A=0时仍适用在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?例1 求点P０（-1，2）到直线 3x=2的距离解：d=例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则　　　　 ，AB边上的高h就是点C到AB的距离AB边所在直线方程为　　即x+y-4=0点C到ｘ+ｙ-4=0的距离为h=， 因此，=.例3 已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　B　) A．0或－1/2 B.12或－6 C．－1/2或1/2 D．0或1/2 解析：依题意得＝，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2， ∴8m2＋44m－24＝0，∴2m2＋11m－6＝0，∴m＝或m＝－6.例4 设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为_3x－2y＋5＝0_． 解析：当l与过两点的直线垂直时，(2，－1)与直线l的距离最远，因此所求直线的方程为y－1＝－·(x＋1)即3x－2y＋5＝0.两平行线间的距离公式　　两条平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长．已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为　　又 　　即，∴d＝ 例5 求两平行线：，：6x-21y-1=0，间的距离。

解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥ ，所以点P到的距离等于与的距离.于是解法二：∥又.由两平行线间的距离公式得 例6 (1)已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3且该直线过点（2，3），求该直线方程.(2) 已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：(3)过直线l1：x－2y＋3＝0与l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0．7．在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线为y＝0，点B(1,2)，则点A和点C的坐标分别是(－1,0)，(5，－6)． 解析：由得顶点A(－1,0)，kAB＝1， ∴kAC＝－1，∴AC方程为y＝－x－1.① 又BC方程y＝－2x＋4，② 解①和②得C(5，－6)．8．求过点P(1,2)且与A(2,3)和B(4，－5)等距离的直线方程． 解答：解法一：所求直线有两条，一条是过P(1,2)点且过AB的中点，另一条是过P(1,2)与A、B两点所确定的直线平行． AB的中点M的坐标为(3，－1)，∴过P、M两点的直线方程为y－2＝(x－1)， 整理得3x＋2y－7＝0； 过P点与AB平行的直线为y－2＝(x－1)， 整理得4x＋y－6＝0； 因此所求的直线方程为3x＋2y－7＝0，或4x＋y－6＝0. 解法二：设所求的直线方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0， 根据题意：＝， 即|k－1|＝|3k＋7|，解得：k＝－4或k＝－. 因此所求的直线方程分别为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.。