高等数学练习答案10-7.doc

习题10-7 1. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分: (1), 其中G为圆周x2+y2+z2=a2, , 若从z轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向; 解 设S为平面x+y+z=0上G所围成的部分, 则S上侧的单位法向量为 . 于是 . 提示: 表示S的面积, S是半径为a的圆. (2), 其中G为椭圆x2+y2=a2, (a>0, b>0), 若从x轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向; 解 设S为平面上G所围成的部分, 则S上侧的单位法向量为 . 于是 . 提示: S(即)的面积元素为. (3), 其中G为圆周x2+y2=2z, z=2, 若从z轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向; 解 设S为平面z=2上G所围成的部分的上侧, 则 . (4), 其中G为圆周x2+y2+z2=9, z=0, 若从z轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向. 解 设S为xOy面上的圆x2+y29的上侧, 则 . 2. 求下列向量场A的旋度: (1)A=(2z-3y)i +(3x-z)j+(-2x)k; 解 . (2)A=(sin y)i-(z-xcosy)k; 解 . (3)A=x2sin yi+y2sin(xz)j+xysin(cos z)k. 解 =[xsin(cosz)-xy2cos(xz)]i-ysin(cosz)j+[y2zcos(xz)-x2cosy]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分, 并计算积分值, 其中A、S及n分别如下: (1)A=y2i+xyj+xzk, S为上半球面, 的上侧, n是S的单位法向量; 解 设S的边界G : x2+y2=1, z=0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x=cosq, y=sinq, z=0(0q2p, 由托斯公式 . (2)A=(y-z)i+yzj-xzk, S为立方体0x2, 0y2, 0z2的表面外侧去掉xOy面上的那个底面, n是S的单位法向量. 解 . 4. 求下列向量场A沿闭曲线G(从z轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A=-yi+xj+ck(c为常量), G为圆周x2+y2=1, z=0; 解 . (2)A=(x -z)i+(x3+yz)j-3xy2k, 其中G为圆周, z=0. 解 有向闭曲线G的参数方程为x=2cosq, y=2sinq, z=0(0p2p). 向量场A沿闭曲线G的环流量为 . 5. 证明rot(a+b)=rot a +rot b. 解 令a=P1(x, y, z)i+Q1(x, y, z)j+R1(x, y, z)k, b=P2(x, y, z)i+Q2(x, y, z)j+R2(x, y, z)k, 由行列式的性质, 有 . 6. 设u=u(x, y, z)具有二阶连续偏导数, 求rot(grad u) 解 因为grad u=uxi+uyj+uzk, 故 =(uzy-uyz)i+(uzx-uxz)j+(uyx-uxy)k=0. *7. 证明: (1)(uv)=uv+vu 解 =uv+vu. (2) 解 ==u Dv+v Du +2u u. (3) (A B )=B (A )-A (B ) 解 B=P2i+Q2j+R2k , 而 所以(A B)=B(A)-A ( B ) (4) (A )= (A )- 2a 解 令A =Pi +Q j++R k ,则 从而 命题地证。