2022年挑战中考数学压轴题图形运动中的计算说理问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第三部分图形运动中的运算说理问题3.1 代数运算及通过代数运算进行说理问题例 1 2022年北京市中考第29 题在平面直角坐标系中,⊙ C 的半径为 r,P 是与圆心 C 不重合的点,点 P 关于⊙ C 的反称点的定义如下：如在射线 CP 上存在一点 P′ ,满意 CP＋CP′ ＝ 2r,就称点 P′ 为点 P关于⊙ C 的反称点．如图 1 为点 P 及其关于⊙ C 的反称点 P′ 的示意图．特殊地,当点 P′ 与圆心 C 重合时,规定 CP′ ＝ 0．（1）当⊙ O 的半径为 1 时,①分别判定点M〔2, 1〕,N3 〔2,0〕,T 〔1, 3〕 关于⊙ O 的反称点是否存在？如存在,求其坐标；②点 P 在直线 y＝－ x＋2 上,如点 P 关于⊙ O 的反称点 P′存在,且点P′ 不在 x 轴上,求点P 的横坐标的取值范畴；图 1 （2）⊙ C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 y 3 x 2 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点3A、B,如线段 AB 上存在点 P,使得点 P 关于⊙ C 的反称点 P′ 在⊙ C 的内部,求圆心 C 的横坐标的取值范畴．动感体验请打开几何画板文件名“ 15 北京 29” ,拖动点圆心 C 在 x 轴上运动,可以体验到,当点 P′在圆内时, CP 的变化范畴是 1＜CP≤ 2．思路点拨1．反称点 P′是否存在,就是看 CP′是否大于或等于 0．2．第（ 2）题反称点 P′在圆内,就是 0≤CP′＜1,进一步转化为 0≤ 2－CP＜1．满分解答（1）①对于 M 〔2, 1〕,OM＝5 ．由于 OM ′＝ 25 ＜0,所以点 M 不存在反称点（如图 2）．如图 3,对于 N3 〔2,0〕, ON＝3 2．由于 ON′＝231,所以点 N′的坐标为〔1,0〕．222如图 4,对于 T 〔1, 3〕 ,OT＝2．由于 OT′＝0,所以点 T 关于⊙ O 的反称点 T′是〔0,0〕．名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 学习好资料图 3 欢迎下载图 4 ②如图 5,假如点 P′存在,那么OP′＝ 2－OP≥0．所以 OP≤2．设直线 y＝－ x＋2 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B,那么 OA＝OB＝2．假如点 P 段 AB 上,那么 OP≤2．所以满意 OP≤2 且点 P′不在 x 轴上的点 P 的横坐标的取值范畴是0≤x＜2．．（2）由y3x23,得 A〔6, 0〕,B 〔0, 2 3〕 ．所以 tan∠A＝OB33OA3所以∠ A＝30° ．由于点 P′在⊙ C 的内部,所以 0≤CP′＜1．解不等式组 0≤2－CP＜1,得 1＜ CP≤2．过点 C 作 CP⊥AB 于 P,那么 CP＝1 2AC．所以 2＜AC≤4．所以 2≤OC＜ 4．因此圆心C 的横坐标的取值范畴是2≤x＜4（如图 6,图 7 所示）．图 5 图 6 图 7 考点舒展第（ 2）题假如把条件“ 反称点P′ 在⊙ C 的内部” 改为“ 反称点P′存在” ,那么圆心C的横坐标的取值范畴是什么呢？假如点 P′存在,那么 CP′≥0．解不等式 2－CP≥0,得 CP≤ 2．名师归纳总结 所以 AC≤4．因此圆心C 的横坐标的取值范畴是2≤x＜ 6．第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 2 2022 年福州市中考第 22 题如图 1,抛物线y1 〔 2x3〕21与 x 轴交于A、B 两点（点 A 在点 B 左侧）,与 y 轴交于点 C,顶点为 D．（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）联结 CD ,过原点 O 作 OE⊥CD,垂足为 H,OE 与抛物线的对称轴交于点 E,联结 AE、AD．求证：∠AEO ＝∠ ADC ；（3）以（ 2）中的点E 为圆心, 1 为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过 P 作⊙ E 的切线,Q的 坐切 点 为Q , 当PQ的 长 最 小 时 , 求 点P的 坐 标 , 并 直 接 写 出 点标．图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 福州 22” ,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到,当PE最小时, PQ 也最小．思路点拨名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1．运算点 E 的坐标是关键的一步,充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等．2．求 PE 的最小值,设点 P 的坐标为 〔x, y〕,假如把 PE 2 表示为 x 的四次函数,运算很麻烦．假如把 PE 2 转化为 y 的二次函数就比较简便了．满分解答得（1）由y1〔x 2 3〕11x23x7,得D〔3, 1〕,C〔0,7 〕2．222由y1〔x3〕211[〔x3〕22]1 2〔x32〕〔x32〕,22A 〔32,0〕,B〔32,0〕．（2）设 CD 与 AE 交于点 F,对称轴与x 轴交于点 M,作 DN⊥y 轴于 N．如图 2,由D〔3, 1〕,C〔0,7〕,得 DN＝3,CN9 2．因此tanDCN2DN2．2CN3如图 3,由 OE⊥CD ,得∠ EOM ＝∠ DCN ．因此tanEOMEM．OM3所以 EM ＝2,E〔3, 2〕 ．由A 〔32,0〕,M〔3,0〕,得AM2．DM12．因此tanAEMAM2,tanDAMEM2AM22所以∠ AEM ＝∠ DAM ．于是可得∠ AED＝90° ．如图 4,在 Rt△ EHF 与 Rt△ DAF 中,由于∠ EFH ＝∠ DFA,所以∠ HEF＝∠ ADF ,即∠ AEO＝∠ ADC ．图 2 图 3 图 4 （3）如图 5,在 Rt△ EPQ 中, EQ 为定值,因此当PE 最小时, PQ 也最小．设点 P 的坐标为 〔x, y〕,那么 PE 2＝〔x－3〕2＋〔y－2〕2．已知y1 〔 2x3〕21,所以〔x 2 3〕2y2．因此PE2〔2y2〕〔y2〕2y22y6．所以当 y＝1 时, PE 取得最小值．名师归纳总结 解方程1 〔 2x3〕211,得 x＝5,或 x＝1（在对称轴左侧,舍去）．第 4 页,共 8 页因此点 P 的坐标为 〔5, 1〕．此时点 Q 的坐标为 〔3, 1〕或19 13 5 5〕（如图 6 所示）．- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 5 学习好资料图 6 欢迎下载图 7 考点舒展名师归纳总结 第（ 3）题可以这样求点Q 的坐标：设点Q 的坐标为 〔m, n〕．21．第 5 页,共 8 页由 E〔3, 2〕、P〔5, 1〕,可得 PE2＝5．又已知 EQ2＝1,所以 PQ2＝4．列方程组〔 m3〕2〔 n2〕21,解得m 13,m 219 , 5〔 m5〕2〔 n 2 1〕4,n 11,n 213. 5仍可以如图7 那样求点 Q 的坐标：对于 Q〔m, n〕,依据两个阴影三角形相像,可以列方程组m3nn15m2同样地,对于Q′〔m, n〕,可以列方程组m32n1．1n5m2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 3 2022 年南京市中考第 26 题已知二次函数y＝a〔x－m〕 2－a〔x－m〕（a、m 为常数,且a≠ 0）．（1）求证：不论a 与 m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C,与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D．①当△ ABC 的面积等于1 时,求 a 的值m 的值．②当△ ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求动感体验请打开几何画板文件名 “ 13 南京 26” ,拖动 y 轴上表示实数 a 的点可以转变 a 的值, 拖动点 A 可以转变 m 的值．分别点击按钮“ m1” 、“ m2” 、“ m3” ,再转变实数 a,可以体验到,这 3 种情形下,点 C、D 到 x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名 “ 13 南京 26” , 拖动 点 A 可以转变 m 的值, 竖直拖动点 C 可以转变 a 的值．分别点击按钮,可得到△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等的三种情形；思路点拨1．第（ 1）题判定抛物线与x 轴有两个交点,简单想到用判别式．事实上,抛物线与x轴的交点 A、B 的坐标分别为〔m,0〕、 〔m＋1,0〕,AB＝1．2．当△ ABC 的面积等于 1 时,点 C 到 x 轴的距离为 2．3．当△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等时, C、D 到 x 轴的距离相等．4．此题大量的工作是代入运算,运算比较繁琐,肯定要认真．满分解答名师归纳总结 （1）由 y＝ a〔x－m〕2－a〔x－m〕＝a〔x－m〕〔 x－m－1〕,第 6 页,共 8 页得抛物线与x 轴的交点坐标为A〔m,0〕、B〔m＋1,0〕．因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由 y＝a〔x－m〕2－a〔x－ m〕 a xm1〕21a ,24得抛物线的顶点坐标为C m1。