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4.2初等行变换逆矩阵修正.ppt

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  • 卖家[上传人]:汽***
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  • 上传时间:2024-09-11
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    • 第第1页页4.2 4.2 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换三、逆矩阵的概念三、逆矩阵的概念四、逆矩阵的求法四、逆矩阵的求法二、矩阵的秩二、矩阵的秩 第第2页页目标目标•记清矩阵的三种初等行变换并会用记清矩阵的三种初等行变换并会用•会恰当用初等行变换会恰当用初等行变换•掌握逆矩阵的概念、逆矩阵所满足的掌握逆矩阵的概念、逆矩阵所满足的 运算律,理解秩的概念运算律,理解秩的概念•会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩重点重点•逆矩阵的概念及求法逆矩阵的概念及求法难点难点•准确求逆矩阵准确求逆矩阵4.2 4.2 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 第第3页页一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换(一)下列三种变换,称为矩阵的(一)下列三种变换,称为矩阵的初等行变换初等行变换::1.交换矩阵的两行交换矩阵的两行;2.用一非零常数乘矩阵的某行用一非零常数乘矩阵的某行;3.用常数乘矩阵的某行用常数乘矩阵的某行, 加到其它的行上加到其它的行上例如例如①+②×(-3) 第第4页页 1.定义定义 满足以下条件的矩阵称为满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵,简,简称称阶梯形矩阵阶梯形矩阵:: ((1)矩阵的零行(若存在)在矩阵的最下方;)矩阵的零行(若存在)在矩阵的最下方; ((2)各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标)各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大的增大而严格增大 (二)行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵(二)行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵例如,矩例如,矩阵和和都是都是阶梯形矩梯形矩阵。

      一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 第第5页页如果行如果行阶梯形矩梯形矩阵还满足以下条件,称足以下条件,称为行行简化化阶梯形矩梯形矩阵::((1)各非零行的第一个非零元素都是;)各非零行的第一个非零元素都是;((2)所有第一个非零元素所在列的其余元素都是0.)所有第一个非零元素所在列的其余元素都是0. 2.行行简化化阶梯形矩梯形矩阵 例如例如, 矩 矩阵和和是行是行简化化阶梯梯阵..定理定理 任何矩任何矩阵经过一系列初等行一系列初等行变换可化成可化成阶梯形矩梯形矩阵 也可化成行也可化成行简化化阶梯形矩梯形矩阵..一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 第第6页页例例1 将将化成简化行阶梯阵化成简化行阶梯阵过程见教材例过程见教材例1 1,结果为:,结果为:注意注意::矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的,而矩阵的阶矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的,而矩阵的阶梯形矩阵并不是惟一的,但是一个矩阵的阶梯形矩阵中梯形矩阵并不是惟一的,但是一个矩阵的阶梯形矩阵中非零行的个数是惟一的非零行的个数是惟一的.矩阵的这一特征是矩阵重要的数矩阵的这一特征是矩阵重要的数字特征.字特征.一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 第第7页页二、矩阵的秩二、矩阵的秩1.定定义 矩矩阵A的的阶梯形矩梯形矩阵中非零行的个数,称中非零行的个数,称为矩矩阵A的秩,的秩,记作秩作秩(A)或或r(A)..由定由定义可知求矩可知求矩阵的秩,只需把它化的秩,只需把它化为阶梯形矩梯形矩阵,,阶梯形矩梯形矩阵中非零行的个数,就是矩中非零行的个数,就是矩阵的秩.的秩.2.求法求法 化为阶梯形阵,非零行的个数,就是矩阵的秩.化为阶梯形阵,非零行的个数,就是矩阵的秩.例例2 求求与与对于任意矩于任意矩阵都有都有 第第8页页4.满秩矩阵满秩矩阵若若n阶方阵阶方阵A的秩等于的秩等于n, 则称则称A是满秩的是满秩的,或,或非奇异阵非奇异阵。

      定理:定理:任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵定理:定理:方阵可逆的充要条件是其为满秩阵方阵可逆的充要条件是其为满秩阵例例3 判断下列矩阵是否可逆?判断下列矩阵是否可逆? A可逆,可逆,B不可逆二、矩阵的秩二、矩阵的秩 第第9页页 (或称(或称 的逆);的逆);其中其中 为为 的倒数的倒数则矩阵则矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.三、逆矩阵的概念三、逆矩阵的概念引入引入::在数的运算中,在数的运算中, 当数当数 时,有时,有 在矩阵的运算中,在矩阵的运算中, 单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1,,如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得 第第10页页例例4 4 设设设设n阶方阵阶方阵A,若存在,若存在n阶方阵阶方阵B,使得,使得AB==BA==E,则,则称称 B 为为 A 的的逆矩阵逆矩阵,称,称 A 是是可逆阵可逆阵事实上,若事实上,若AB==BA==E成立,则成立,则A与与B互为可逆矩阵。

      互为可逆矩阵1.1.逆矩阵的定义逆矩阵的定义三、逆矩阵的概念三、逆矩阵的概念 第第11页页例例5矩阵矩阵 就无逆矩阵就无逆矩阵 例例6 矩阵矩阵 的逆矩阵为的逆矩阵为 三、逆矩阵的概念三、逆矩阵的概念 第第12页页2.2.定理定理若若A可逆,则可逆,则是唯一的是唯一的3.3.运算律运算律若若A可逆,数可逆,数k 不为不为0,则,则三、逆矩阵的概念三、逆矩阵的概念 第第13页页四、逆矩阵的求法四、逆矩阵的求法初等变换法:初等变换法:例例7 求例求例3中矩阵中矩阵A的逆矩阵的逆矩阵 第第14页页小小 结结1. 逆矩阵、逆矩阵运算律逆矩阵、逆矩阵运算律3. 逆矩阵的计算方法、矩阵秩的求法逆矩阵的计算方法、矩阵秩的求法2. .逆矩阵逆矩阵 存在存在A满秩满秩初等变换法初等变换法作业作业 P145 1,,2,,5 第第15页页思思 考考 题题 第第16页页思考题解答思考题解答答答 。

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