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有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面非线性问题与线弹性问题的区别:1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解;2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系它包括大位移大应变及大位移小应变问题如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题3）非线性边界问题在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件实际的非线性可能同时岀现上述两种或三种非线性问题有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法1•加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法WeightedresidualmethodWRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件岀发，寻求边值问题近似解的数学方法加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法设问题的控制微分方程为：在V域内L{u)~f=0(5.1.1)在S边界上〃(")-g=0(5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g——为与未知函数U无关的己知函数域值；U——为问题待求的未知函数当弄!J用力口权余法求近似解首先在求解域上赴立一-试函茁攵B一啟兵冇如下形式:乞：N\=NC(5.1.3)n式中：G彳寺定系数.也可不尔K广义坐标；N.耳又白尢备函数衆的线T主无关的基函数由于刃一弼t只是彳寺求函数11的近似解.因井匕:恃式(51.3)代入式(5丄1)牙口式(5丄2)后将•得•不到洒足.若「巴:A=L(M-f在\；域内Rb=B(辭-g在s边界上小T呈然马、笔反映了，式函莖攵与克实解之兀1的偏差，它丁门分另耳称做内誥岁牙口3交界余•垂°若在域\『内引入内部权函数晒，在边界S上引入3丈界权函数WB贝！J可建立n个消除氽量的条件，一般可农示为:[[WBiRBdS=0(Z=l、2丄，“)(5.1.5)不同的权函数砂:和1%反映了不同的消除余-童的准则。

从上式可以得到衣解待定系数柜阵C的代数方程组一经解得•待定系数，由式(5.1.3)即可得所需求解边值问趣的近似解由于试函数〃的不同，余-蚩耳穿口农可有如下三种q奔况，侬此加权余-址法可•分为:1. 内部法试函数满尺边券条件，也即^.=W-s=o此时消除余涅-的条件成为:|炉個“=00=12L,防(5.1.6)♦V2. 边界法试函数満足控制方程，也即R-L(^-f-C此时消除余呈的条件为：IWBREdS=0(/=h2,L，“)(5.1.7)♦s3. 混合法试函数不满足控制右程和边界条件，此b寸用式(5.1.5)来消除余址混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小无论釆用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1) 试函数应由完备函数集的子集构成己被采用过的试函数有幕级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等2) 试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性3) 试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法其中伽辽金法的精度最高下面以内部法为例，介绍按权函数分粪时加权余渔•的五种基本方法对内部法来*5兌，消除余-昼的统一枪式是：「押押=0(心1,2丄，刃)1. 子域法(SubdomauiMethod)此法首先将衣錄域\『划分成n个子域,在每个子域内令权函数务于1,而在子域之外习风权函数为冬，电即：丁_[1厲内)*外)如果在各个子域里分别迭职试函致,那么它的求稱在形式上习各类似于冇限元法o2. 西己点法(CollocationMethod)子域法是令余量在一个子域上的总和为誓而配点法是使余•昼在指定的口个点上等于零这些点称为西己点此法的权函数为：化=&p—p)驚RmH犹拉克)函数，它的定义为:0电[ci,b]A}e[a,b]s$[0「心-齐妙=]P、P’一分别代表求解域内任一点和配点由于□匕法只在色己点上侏证余-宜为冬，因□匕不需要丁乍乖只分计笄，所以是最简单的加权余呈法3. 最小二乘法(LeastSquareMethod)本法颈1过使在翌个求用军域上余渔•的平方才口取极划、来建立消除余量的条件C若记余呈平方牙口为1(C),即1(C)=[I^dV=fR：卩♦V则极值条件为:刃(C)dC~=2.|；第WOD由此可见，本法权函数为：炉严去0=1.21，^)4・伽辽金法(GaMsiiMethod)本法是使余蚤与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数WK=A；(z=L2,L“)当试函数殳包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。

5. 矩法（MethodofMoment）本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数但本法的权函数与伽辽金法又冇区另！J,它与£式函数无关消除余量的条件是从冬开始的各阶柜为零，因此对一维问题-=x2'10=1,2,L严）.八（i,J=l,2,L,n）其余类推这五种基本方法在待定系数兄够多（利订故高阶近似）时，其精度彼儿匕相近但对低阶近似（11较小）侨况下，后三种的榜度要高于前两种0基本方法举例图示3律的控制方程为:为说明上述基本撅念，以图所示等截面悬臂梁，浚満跨均布荷载作用，求悬臂端E的竖向位移亠为例，，兑明基本方法的应用dx•歹一歹一°（"0）若取试函数为「饷c（x-1472x3+26尸疋）（兀=0其边界条件为:不难验证其満尺边界条件.也即爲=0而控制方程的内邵余輦R】为：&=EZc（120工十24/）—q因此本问題屈内部法下面分别用基本方法进行求解子域法解由于试函数仅一个待定常、数，因此只需取一个子域(等于全域)即可，消除余涅'的条件为：|：[£7c(12O.v+24/)-

若令:RIL=0.75Z=°可得：c=uhn醪=篦若令:则傅:C=^l(水科可见不同的西己点纟吉果是不一样•的最小二乘法解此时消除余-宦的条件为:(&弓趁=l0[eZc(120x+24/)-g]•£2(120x+24/)]必=0c0.01017今C=eh0.1424/~~E1伽辽全法解D匕日寸.^=x5+/x4-14Z2x3+26/3x2消除余量的条件为：仙恥=0由此可得：c=0.00908(?EUEI矩法解由于只冇一个待定沿数，因此消除余量条件只需零次柜即可,此时显然与子域法完全相同本例各方法的精度比较本问题的精确解由梁位移计算可得"为.〃_0.125〃8EI£7由”匕可•得^上述各方法对本例计葬的课差依次为：-33.3%;1.75%（22.2%）；13.9%;0.96%;-33.3%上面22.2%为式（*水）结果2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题但是必须指岀，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题3、最小总势能法应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中，即为应变能由n个单元和m个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力所做功的差：nmn=2f-ii-i最小势能原理：对于一个稳定的系统，相对于平衡位置发生的位移总会使系统的总势能最小，即：anana,r,.=。