最优化与最优控制讲义 第2章 变分法1-4.pdf

6第二章 变分法最优控制所要解决问题的是：在一定的约束条件下，求使性能指标达到极大（或极小）值的控制函数这里考虑的约束条件一般为由向量微分方程描述的控制对象特性，而性能指标则一般是用泛函来描述也就是说，最优控制问题实际上是在微分方程约束下求泛函的条件极值问题，而这就是一个变分问题，需要用变分法求解变分法是近代数学中的一个完整分支，是研究最优控制问题的重要工具为了理解变分法的原理，有必要首先了解相关的基础知识2．1赋范线性空间1. 距离的定义数学上的距离定义是表示空间中两点之间远近的一个数，有如下性质：1) 非负性即距离大于等于零，且只在两点重合时才为零；2) 与两点顺序无关，为标量；3) 两点间最短距离是连接这两点的直线2. 距离空间定义定义2-1：设X是一个非空集合，X为距离空间是指在X中定义的一个双变量实函数d(x,y)，满足1) d(x, y) ≥ 0，x ,y∈X ,d(x, y) = 0, iff x = y;2) d(x, y) = d(y, x);3) d(x, y) ≤d(x, z) + d(z, y), x ,y ,z∈X 称d(x, y)为x与y间距离，亦称X上的距离。

注1：距离的概念主要为了刻画“任意逼近”的概念注2：距离空间依距离定义的不同而不同3. 点列收敛定义定义2-2：距离空间X中点列xn收敛于x0（或点列xn以x0为极限）是指d(xn, x0) →0， 当 n → ∞， 记为0limxxnn=∞→4. 距离空间X的基本序列定义2-3：距离空间X的基本序列或柯西序列(Couchy Sequence)是指，对X中点列xn，如果对于任意ε>0，存在足够大N，当m，n>N时，有d(xm, xn)0}称为X中的开球；S (x0, τ) = { x ∈X∣d(x, x0) ≤τ, τ>0}称为X中的闭球；∑(x0, τ) = { x ∈X∣d(x, x0) =τ, τ>0}称为X中的球面，均以x0为圆心，τ为半径6. 内点定义2-4：设M为X中的子集，点x ∈X为M内点的条件为，存在一个以x为中心的开球S(x0, ε)⊂ M7M的所有内点的全体称为M的内部，记为Int M7. 开集定义2-5：如果X中子集M的所有点均为它自己的内点，即M = Int M，则M成为开集8. 极限点定义2-6：设M是距离空间X中的子集，若存在M中点列{ xn}，它收敛于x0 ∈X，且xn≠ x0，则称x0是M的一个极限点。

注意，M的极限点不一定属于M例如，对M ={r∣00{ xxxxU ˆ),ˆ( −=σ 0，使当),ˆ(ˆ σxUxx ∈∆+时，有)ˆ()ˆ( xJxxJ ≥∆+对于确定的xˆ和xx ∆+ˆ，作为ε的函数，)10(),()ˆ( ≤≤=∆+εεϕε xxJ在ε=0处达到极小值，则有0)('0==εεϕ，即0)ˆ(),ˆ(0=∆+∂∂=∆=εεεδ xxJxxJ3． 泛函极值的充分条件定理2-3：设J(x) 是在Rn的某个开子集nRG ⊂上定义的泛函，且在xx ˆ=处有二阶变分，如果泛函J(x)在xˆ处达到极小值，则其二阶变分大于等于0，即0),ˆ(2≥∆xxJδ；反之，如果泛函J(x)在xˆ处达到极大值，则其二阶变分小于等于0，即0),ˆ(2≤∆xxJδ证明：以极小值为例∵J(x)在xx ˆ=处达到极小值，则存在σ>0，使当),ˆ(ˆ σxUxx ∈∆+时，有)ˆ()ˆ( xJxxJ ≥∆+对于确定的xˆ和xx ∆+ˆ，作为ε的函数，)10()()ˆ( ≤≤=∆+εεϕε xxJ在ε=0处达到极小值，除应有0)('0==εεϕ，还应有0)(''0≥=εεϕ，即0)ˆ(),ˆ(022≥∆+∂∂=∆=εεεδ xxJxxJ。

证毕112．4无约束条件的泛函极值问题—Euler方程考虑轨线)(tx，设其始端00)( xtx =和终端ffxtx =)(均属已知，试寻求连续可微的极值轨线)(ˆ tx，使性能泛函∫=fttdtttxtxLxJ0]),(),([)( &（2-4-1）达到极值，其中被积函数]),(),([ ttxtxL &是连续可微函数这里，轨线)(tx除始端和终端固定及连续可微要求外，不受其他条件约束如图2-1所示，假定极值轨线为)(ˆ tx，其附近一容许轨线为)()(ˆ ttx η+，其中)(tη连续可微)(ˆ tx和)()(ˆ ttx η+两轨线间所有容许轨线可表示为10,)()(ˆ)( ≤≤+=εηε ttxtx （2-4-2）当ε=0时，即为极值曲线)(ˆ tx，有0)()(ˆ==εtxtx将（2-4-2）代入（2-4-1）得∫++=fttdttttxttxLxJ0]),()(ˆ),()(ˆ[)( ηεηε &&（2-4-3）J(x)是ε的函数，在极值轨线上满足0)()(0=∂∂==εεδxJxJ （2-4-4）由（2-4-1）、（2-4-2）和（2-4-3）式定义显然有)(ˆ)(lim0txtx =→ε和)ˆ()(lim0xJxJ =→ε由（2-4-3）和（2-4-4）可得0)(]),(),([)()(]),(),([)()(00=∂∂+∂∂=∂∂∫=fttdttxttxtxLttxttxtxLtxJ&&&&ηηεε即 0)(]),(),([)()(]),(),([)(00=∂∂+∂∂∫∫ffttttdttxttxtxLtdttxttxtxLt&&&&ηη （2-4-5）tx(t)t0)(ˆ txtf)()(ˆ ttx η+图2-112对上式左边第二项分部积分，有∫∫∂∂−∂∂=∂∂ fffttttttdtxLdtdttxLdtxLt000)()()(&&&& ηηη （2-4-6）将（2-4-6）式代入（2-4-5）式，有0)()(00=∂∂+∂∂−∂∂∫ff tttttxLdtxLdtdxLt ηη&&（2-4-7）因两端点固定，0)()(0==ftt ηη，故（2-4-7）式化为0)(0=∂∂−∂∂∫fttdtxLdtdxLt&η （2-4-8）至此，我们引入变分预备定理。

变分预备定理：设M(t)是区间[t0,t1]上的n维连续向量函数，如果对于任意连续向量函数η(t)，0)()(10== tt ηη，皆有0)()(10=∫ttdtttM η，则在区间[t0,t1]上M(t)≡0根据变分预备定理，由于在极值轨线)(ˆ tx处（2-4-8）式对任意η(t)都应成立，所以有0≡∂∂−∂∂xLdtdxL&（2-4-9）由此，可以得到以下定理：定理2-2：设已知轨线)(tx及其始端00)( xtx =和终端ffxtx =)(，则其使性能泛函∫=fttdtttxtxLxJ0]),(),([)( & （2-4-10）取极值的必要条件是轨线)(tx为下列微分方程0=∂∂−∂∂xLdtdxL&（2-4-11）或其展开形式0=−−− xLxLLLxxxxtxx&&&&&&&（2-4-12）的解方程（2-4-11）即为欧拉方程(Euler Equation)，也称为欧拉－拉格朗日方程(Euler-Lagrange Equation)必须注意的是，欧拉方程只是泛函取极值的必要条件一般情况下，欧拉方程是二阶非线性微分方程，属于两点边值问题。

例2－1：13设轨线)(tx的始端0)0( =x，终端1)2( =πx，求使性能泛函∫−=2022)]()([)(πdttxtxxJ &达到极值的极值轨线解：这里 )()(]),(),([22txtxttxtxL −= &&由欧拉方程 0=∂∂−∂∂xLdtdxL&， 有0)](2[)(2 =−− txdtdtx &整理可得 0)()( =+ txtx&&解此微分方程得 tctctx sincos)(21+=考虑边界条件x(0) = 0 和1)2( =πx得 c1= 0 ，c2= 1∴ttx sin)( = 即为所求的极值曲线 ##以上欧拉方程的推导是将J(x)看作是ε的函数，按一般微积分运算中求极值方法处理另一种方法可以直接应用变分的定义表达式求性能泛函极值对性能泛函∫++=fttdttttxttxLxJ0]),()(ˆ),()(ˆ[)( ηεηε &&（2-4-13）将L在ε=0的邻域展开为Taylor级数...)()(]),(ˆ),(ˆ[]),()(ˆ),()(ˆ[ TOHtxLtxLttxtxLtttxttxL +∂∂+∂∂+=++&&&&&εηεηηεεη（2-4-14）其中，H.O.T.为关于η(t)和)(tη&的高阶无穷小项。

泛函的增量为)ˆ()ˆ( xJxJJ −+=∆εη即∫−++=∆fttdtttxtxLtttxttxLJ0]}),(ˆ),(ˆ[]),()(ˆ),()(ˆ[{&&&ηεηε∫+∂∂+∂∂=fttdtTOHxLxL0.}..{ ηεεη &&（2-4-15）可定义)(tx和)(tx&的一阶变分为)(tx εηδ= 和 )(tx ηεδ && =，则有∫+∂∂+∂∂=∆fttdtTOHxxLxxLJ0.}..{ &&δδ （2-4-16）取泛函增量其J∆的线性主部即为其一阶变分∫∂∂+∂∂=fttdtxxLxxLJ0}{ &&δδδ （2-4-17）14上式分部积分后有ff ttttxxLdtxxLdtdxLJ00δδδ&& ∂∂+∂∂−∂∂=∫（2-4-18）当端点固定时有0)()(0==ftxtx δδ，所以有00=∂∂fttxxLδ&，即∫∂∂−∂∂=fttdtxxLdtdxLJ0δδ&（2-4-19）由泛函极值必要条件0=Jδ、xδ为任意取值以及变分预备定理，即可求得欧拉方程为0=∂∂−∂∂xLdtdxL&（2-4-20）与（2-4-11）式结果相同。

欧拉方程可以推广到n维向量微分方程，即n维状态空间定理2－4：在n维状态空间中，已知状态向量T21)](,),(),([ txtxtx(t)nLL=x的起点T02010)](,),(),([ txtxtx(t)nLL=0x和终点T21)](,),(),([ txtxtx(t)nfffLL=fx，则性能泛函∫=fttdttttLtJ0]),(),([)]([ xxx & （2-4-21）取极值的必要条件，是轨线(t)x为向量微分方程0=∂∂−∂∂xx &LdtdL（2-4-22）的解，其中x应有连续的二阶导数，而L则至少两次连续可微。