风险厌恶度量培训教材.ppt

第第8 8讲 风险厌恶度量度量预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础本讲在此基础上展开进一步的讨论，主要议题有三个：­预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？­在风险活动面前，人们的态度如何？­如何测定人们规避风险的倾向强弱？回答第三个问题是本讲的重点事实上，从上一讲的赌博事例已经看到，当效用函数的性能发生了“凸性线性凹性”的变化时，消费者对待风险的态度相应地发生了“爱好中性厌恶”的变化由此得到一个猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险规避倾向越强我们将证明这一猜想是正确的，由此便可引出一种对人们规避风险的倾向强弱进行测定的办法——风险厌恶度量一、关于预期效用的悖论与争议一、关于预期效用的悖论与争议关于不确定条件下的选择问题，上一讲建立的预期效用和主观概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据不确定性行动的预期效用大小来进行评判和选择的然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：Allais Paradox 和 Ellsberg Paradox，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。

有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为另一些人则认为，出现这两个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉错误”比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新发明一种距离概念因此，预期效用和主观概率理论是正确的下面，我们介绍这两个悖论( (一一) ) Allais Paradox这是一个关于预期效用的悖论现有四种彩票A、B、C、D，其奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示彩票彩票ABCD奖金奖金(万元万元)100110100010001100获奖概率获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90%预期收入预期收入(万元万元)1001001111调查发现，很多人都认为 A  B且 D  C A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但 A是稳当地得到100万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过10%：概率小，多得的数额也相对较小这样，A明显比B好C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买 D 仅以少1%的可能性就要比购买 C 多得10万元，因而D比C好计算预期效用计算预期效用 设消费者的预期效用函数为 u。

计算一下预期效用，则有： u(A) = u(100) u(B) = u(110)10% + u(100)89% + u(0)1% u(C) = u(100)11% + u(0)89% u(D) = u(110)10% + u(0)90% 根据调查结果 A  B，应有 u(A) > u(B)由此可知：u(100)11% > u(110)10% + u(0)1% 在此式两边加上 u(0)89% 可得：u(100)11% + u(0)89% > u(110)10% + u(0)90%即 u(C ) > u(D)，这与实际调查结果 D  C 相矛盾：通过预期效用函通过预期效用函数得到的评价与消费者的实际评价相悖数得到的评价与消费者的实际评价相悖 那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的( (二二) E) Ellsberg Paradox 这是一个关于主观概率的悖论。

情景：袋中有红球、蓝球和绿球共300个，其中红球100个现有四种形式的赌博 A、B、C、D： A ：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元 B ：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元 C ：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元 D ：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元 面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率 通过调查发现，大多数人基本上都认为 A  B 且 C  D 作出这种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高 用 P 表示赌博者的主观概率测度， u 表示在这个概率测度下的预期效用函数用 F 表示摸出红球摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球摸出蓝球这一事件则 表示摸出的球不是红球摸出的球不是红球， 表示摸出的球不是蓝球摸出的球不是蓝球计算预期效用计算预期效用 从 A  B 知：( p- q) u(1000) > ( p- q) u(0) 从 C  D 知：( p- q) u(1000) < ( p- q) u(0)。

这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让 A  B 和 C  D 同时成立然而，调查得到的事实却是如此因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候 其实，出现这个悖论，很大的原因还在于评价判断上出现的错觉是调查中消费者评价错了，而不是理论错了 令 p = P(F )，q = P(G )则 计算这四种赌博的效用，可得到：二、对待风险的态度二、对待风险的态度从赌博事例可得到这样的启示：一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好关系上对此，可用预期效用理论加以严格表述设消费者的确定性选择集合 X 是商品空间 的凸闭子集，消费者所处的风险环境为(, F)，风险选择集合为 X(或用D)，风险偏好为  假定假定风险偏好  满足阿基米德公理和独立性公理于是，存在  的预期效用函数预期效用函数 u: XR对任何,X，f, gD及 p[0, 1]，有我们把和u在确定性选择集合 X 上的限制 分别叫做结果偏好结果偏好和结果效用函数结果效用函数。

当 f 是X的分布函数时，E=Ef = X x d f (x)X 叫做的预期收益预期收益通过比较与E，方可判断消费者对待风险的态度 ( (一一) ) 对待风险的热衷态度对待风险的热衷态度n风险爱好者风险爱好者 对任何非退化风险行为 X，都有  El风险爱好者的结果效用函数风险爱好者的结果效用函数U : XR (U(x) = u(x))是严格凸函数是严格凸函数当一种风险行动X与一种确定性行动 xX 具有相同的预期收益(E = x)时，如果消费者认为 比 x 好(  x)，那么这足以说明消费者是热衷于冒险的：不冒险，就没有取得高收益的可能；为了高收益，值得去冒险这种热衷于冒险的消费者，叫做风险爱好者风险爱好者U = px(1 p)yE = px+(1 p)y 事实上，对任何 x, yX 及 p[0,1]，有u( y)这就说明，U(x)是严格凸函数Xu( x)xyEu(E)u()( (二二) ) 对待风险的冷淡态度对待风险的冷淡态度n风险冷淡者风险冷淡者 对任何 X，都有  El风险冷淡者的结果效用函数是凹函数，从而结果偏好是凸偏好风险冷淡者的结果效用函数是凹函数，从而结果偏好是凸偏好。

在风险行动X与确定性行动 xX 的预期收益相同(E = x)的情况下，如果消费者认为 不比 x 好(  x)，则说明消费者不热衷于冒险，对风险持冷淡态度：不愿意冒险追求高收益这种对冒险不热衷的消费者，叫做风险冷淡者风险冷淡者 x  y  = px(1 p)y  y  E    y事实上，对任何x, yX及 p[0,1], 有这就说明，U(x)是凹函数，从而是拟凹的，即结果偏好是凸偏好XxyE = px+(1 p)y结果偏好是凸偏好结果偏好是凸偏好1. 1. 风险厌恶者风险厌恶者n风险厌恶者风险厌恶者 对任何非退化风险行为 X，都有  El风险厌恶者的结果效用函数严格凹，从而结果偏好严格凸风险厌恶者的结果效用函数严格凹，从而结果偏好严格凸在风险行动X与确定性行动 xX 的预期收益相同(E = x)的情况下，如果消费者认为 比 x 差(  x)，则说明消费者讨厌冒险，根本不会冒险追求高收益这种对冒险行动持讨厌态度的消费者，叫做风险厌恶者风险厌恶者，也叫做风险规避者风险规避者U = px(1 p)yE = px+(1 p)y事实上，对任何x, yX及 p[0,1], 有u( y)这就说明，U(x)是严格凹函数，从而严格拟凹，即结果偏好是严格凸。

Xu( x)xyEu(E)u()2. 2. 风险中立者风险中立者n风险风险中立中立者者 对任何X，都有 ~ El风险中立者的结果效用函数是线性的，结果无差异曲线为直线风险中立者的结果效用函数是线性的，结果无差异曲线为直线在与确定性行动 xX的预期收益相同的风险行动X (E = x)面前，如果消费者既不更倾向于选择，又不更倾向于选择x ，即认为  ~ x，则说明消费者对风险持中立态度，既不热衷，也不讨厌这种对风险持中立态度的消费者，叫做风险中立者风险中立者U = px(1 p)yE = px+(1 p)yu( y)Xu( x)xyEu(E)u()XxyE = px+(1 p)y x ~ y  = px(1 p)y ~ y  E ~  ~ y结结果果无无差差异异曲曲线线( (三三) ) 结果效用函数的基数意义结果效用函数的基数意义一般情况下，经济活动者要么是一个风险爱好者，要么是一个风险冷淡者应该说，绝大多部分人都是风险冷淡者，具有风险规避倾向这样一来，在预期效用函数下，绝大多数人的结果效用函数都是凹函数，结果偏好是凸偏好，而只有少数人的结果效用函数是凸函数。

无论如何，风险选择理论让我们进一步看到了确定性条件下对消费者偏好作出凸性假设的合理性，也看到了确定性偏好的必然凸性更重要的是，我们看到了每个人在确定性选择集合上都存在着凹或凸的效用函数效用函数的凹性是说消费者的边际效用递减，凸性是说边际效用递增而边际效用是基数意义下的效用，也就是说，只有在基数效用意义下，才能谈论效用增加多少因此，凹或凸的结果效用函数的存在，意味着基数效用函数存在因此，预期效用函数存在定预期效用函数存在定理理顺便回答了基数效用函数的存在性问题回答了基数效用函数的存在性问题，而且是肯定的回答三、赌博显示的风险厌恶程度指标三、赌博显示的风险厌恶程度指标 以上对于消费者对待风险的态度的研究表明，没有风险规避倾向的风险爱好者，其结果效用函数是严格凸的；而对风险持中立态度的消费者，其结果效用函数既不严格凸，也不严格凹；一旦消费者具有了风险规避倾向，其结果效用函数就成为严格凹的这种现象让我们自然产生这样一种感觉：效用函数越凹效用函数越凹，风险规避倾向越风险规避倾向越强强那么，这种感觉是否正确？我们还是以为赌博为例，来对这个问题进行说明 设经济人的财富收入效用函数为u(r)， ，并设财富以元为单位来计。

假定经济人当前有w元 设 F 是随机事件，其发生的概率为 p通过事件 F，可以设计赌博 g(x, y)：若事件F 发生，则赢 x 元，经济人的财富变为w +x 元；若事件F 未发生，则赢 y 元，经济人的财富变为w +y 元 平面 上每一点(x, y)都代表一个赌博g(x, y)这样，平面 代表通过事件F 设计的赌博的全体G ： ，称为赌博平面赌博平面 (一一) ) 赌博平面赌博平面盈利性赌博盈利性赌博px + (1p)y > 0亏损性赌博亏损性赌博px + (1p)y < 0xyo公公平平赌赌博博原点(0,0)代表不赌不赌 赌赌博博平平面面 G = R² 对于赌博(x, y)，消费者是否接受，要看赌博的预期效用是否不低于不赌的效用：( (二二) ) 接受集接受集GAxy公公平平赌赌博博GA = {(x, y) : pu(w+x) + (1p)u(w+y)  u(w) }接受集接受集边界边界 GA接接受受集集边边界界在在原原点点的的切切线线oGA在原点在原点(0,0)处的切线方程处的切线方程：px+(1p)y = 0接受集边界 GA 在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！接受集GA是指由一切为消费者所接受的赌博(x, y)组成的集合。

 对任何(x, y), (x, y)GA 及实数 t[0, 1]，令(x, y) = t (x, y) + (1t)(x, y) 则有：1. 1. 接受集的凸性接受集的凸性故 (x, y) = t (x, y) + (1t)(x, y)  GA这就证明了GA是凸集  (0)正是 GA 在原点处的切线的斜率这样，就得到了接受集边界 GA 在原点(0,0)处的切线方程：p x + (1 p) y = 0可见，接受集的边界接受集的边界GA在原点在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线处的切线正是公平赌博直线！ 接受集的边界GA：GA = {(x, y)R² : pu(w+x)+(1p)u(w+y) = u(w)}边界方程 pu(w+x)+(1p)u(w+y) = u(w) 隐含着 y =  (x)求导可得：p u(w+x)+(1p) u(w+y) (x) = 0令 x = 0，即得到 y =  (x) 在 x = 0 处的导数：2. 2. 接受集边界在原点的切线接受集边界在原点的切线 由此可见， (0)与u(w) u(w)成正比，从而接受集边界接受集边界GA在原点在原点(0,0)处的曲率大小与处的曲率大小与 u(w) u(w) 成正比成正比！3. 3. 接受集边界在原点的曲率接受集边界在原点的曲率接受集边界GA在原点处的曲率大小与 (0)成正比。

为此，进行如下求导计算：( (三三) ) 原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义 原点(0,0)附近的赌博具有特殊的意义：l原点附近的赌博都是(赌金)数量较小的赌博：小赌博l如果一个人连小赌博都不愿意接受，那么就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的风险规避倾向l一个人不愿意接受的小赌博越多，他的风险厌恶度越大，风险规避倾向越强l (0)越大，接受集边界GA 在原点(0,0)处越弯曲，不接受的小赌博便越多，从而风险厌恶度越大，风险规避倾向越强l u(w) u(w)越大， (0)越大ùAn important fact： u(w) u(w) 衡量着经济人的风险厌恶风险厌恶度度！ùArrow & Pratt’s measure AP(w) of risk aversion：1. 1. 阿罗阿罗- -普拉特风险厌恶度普拉特风险厌恶度小赌博小赌博接受接受不接受不接受2. 2. 风险厌恶度风险厌恶度 AP 与风险加价与风险加价 RPU = v (r)U = u (r)四、风险规避倾向与风险厌恶度四、风险规避倾向与风险厌恶度 赌博显示的风险厌恶程度指标 AP(w)，适用于在任何风险环境中去测量人们的风险规避倾向的程度强弱。

为了证实这一结论，设经济人所处的风险环境为(,F,P)，确定性选择集合 X 为实数集合 R，即 X = R，也就是说，经济人选择的任何结果都可以用实数加以表示，从而经济人的风险选择集合 X 是风险环境(,F,P)中的随机变量的全体 再设 u : X  R 是经济人的VNM效用函数注意下述事实：第一，风险爱好者的VNM效用函数 u 是严格凸函数；第二，风险厌恶者的VNM效用函数 u 是严格凹函数；第三，风险中立者的VNM效用函数 u 是线性函数；第四，风险冷淡者的VNM效用函数 u 是凹函数 按照行为变化是绝对量变还是相对量变，风险规避倾向分为绝对风险规避倾向(通常省略“绝对”二字)和相对风险规避倾向 ( (一一) ) 绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向 风险厌恶度量函数风险厌恶度量函数(阿罗阿罗-普拉特度量函数普拉特度量函数)： 函数 AP: XR 的作用在于度量经济人的绝对风险规避倾向的程度强弱，其函数值就叫做经济人的绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向或绝对风险厌绝对风险厌恶度恶度一般来说，表达经济人风险规避倾向强弱的方式有三种： 第一种是比较不同VNM效用函数下的风险厌恶度量函数。

风险厌恶度量函数的值越大，表示风险规避倾向越强 第二种是比较不同VNM效用函数的凹性强度VNM效用函数越凹(指在递增凹变换下把一个效用函数变成另一个效用函数)，风险规避倾向越强 第三种是比较不同VNM效用函数下的风险加价大小风险加价越大，风险规避倾向越强 1. 1. 普拉特定理普拉特定理l定理定理(Pratt) 设确定性选择集合 X = R，风险环境为(,F,P)再设uA : X  R 和uB : X  R 都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数则下面三个条件相互等价：(1) 对任何w  X，都有 ；(2) 存在递增的凹函数 g，使得 uA(w) = g(uB(w)) 对一切wX 成立；(3) 对一切 X，都有RPA( )  RPA( )普拉特研究了上述三种表达方式之后指出，它们相互等价它们相互等价这样一来，函数 AP : X  R 便很好地度量着经济人的风险规避倾向 这里，风险行为 的风险加价RP( )的定义为：RP( ) = E  c( )其中的c( )是这样确定的： c( )X & u(c( )) = u( )。

2. 2. 普拉特定理的严格形式普拉特定理的严格形式l定理定理(Pratt) 设确定性选择集合 X = R，风险环境为(,F,P)再设uA : X  R 和uB : X  R 都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数则下面三个条件相互等价：(1) 对任何w  X，都有 ；(2) 存在递增的严格凹函数 g 使得 uA(w) = g(uB(w))对一切wX 成立；(3) 对一切非退化的风险行动 X，都有RPA( ) > RPA( )普拉特定理中的那些不等式还可以换成严格不等式，从而得到普拉特定理的严格形式( (二二) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向 风险厌恶度 AP(w) 测量的是在行为的绝对量变中，经济人对风险的厌恶程度强弱，因而才叫做绝对风险厌恶度绝对风险厌恶度但实际中，人们也常常使用相对量变，即用比例来表达数量变化采用相对量变的好处在于消除了量纲影响，从而能更好地把握经济变量的变化这样，我们也需要测量经济人在行为的相对量变中对风险的厌恶程度大小，这就是所谓的相对风险厌恶度相对风险厌恶度及相对风险规避倾向相对风险规避倾向。

为此，我们给出如下定义设 u : X  R 是经济人的VNM效用函数，X = R对任何w  S，定义 RAP(w) 为：函数 RAP : X  R 叫做经济人的相对风险厌恶度量函数相对风险厌恶度量函数，或阿罗阿罗- -普普拉特相对风险度量拉特相对风险度量，或相对风险规避倾向相对风险规避倾向函数值 RAP(w) 叫做经济人在在w 处的相对风险厌恶度处的相对风险厌恶度或在在w 处的相对风险规避倾向处的相对风险规避倾向 1. 1. 赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向 设经济人的财富收入效用函数为u(r)且(rX)(u(r) > 0), 并设财富以元为单位来计假定经济人当前拥有w元财富设F是一个随机事件，其发生的概率为 p通过事件F，可以设计相对赌博相对赌博： 对任何 x, yR，平面上的点(x, y)代表这样的赌博：如果事件F 发生，则赢 x w 元，经济人的财富变为(1+x)w 元；若事件F 未发生，则赢得 yw 元，经济人的财富变为(1+y)w 元这样，通过事件F设计的相对赌博的全体G正是平面R²：G = R²。

原点(0,0)代表不赌，其余点(x, y)((0,0))都代表真正的赌博 赌博(x,y)的预期效用预期效用为EU(x, y) = pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w) 赌博(x, y)被接受当且仅当当且仅当 pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)  u(w) (x, y)是公平赌博当且仅当当且仅当 px + (1p)y = 0接受集的边界 在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！2. 2. 相对接受集相对接受集GA公平的赌博相对接受相对接受集边界集边界GA 在原点(0,0)处的切线方程：凸集 对任何(x, y), (x, y)GA 及实数 t[0, 1]，令(x, y) = t (x, y) + (1t)(x, y) 则有：(1) (1) 相对接受集的凸性相对接受集的凸性故 (x, y) = t (x, y) + (1t)(x, y)  GA这就证明了GA是凸集  (0)正是 GA 在原点处的切线的斜率。

这样，就得到了相对接受集的边界 GA 在原点(0,0)处的切线方程：p x + (1 p) y = 0l 相对接受集的边界相对接受集的边界GA在原点在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线处的切线正是公平赌博直线！ 相对接受集的边界GA：GA = {(x, y)R² : pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w) = u(w)}边界方程 pu(w+xw)+(1p)u(w+yw) = u(w) 隐含着 y =  (x)求导：p u(w+xw)w+(1p) u(w+yw)w (x) = 0令 x = 0，即得到 y =  (x) 在 x = 0 处的导数：(2) (2) 相对接受集的边界在原点的切线相对接受集的边界在原点的切线 由此可见， (0)与u(w)w u(w)成正比，从而接受集边界接受集边界GA在原点在原点(0,0)处的曲率大小与处的曲率大小与RAP(w)= u(w)w u(w) 成正比成正比！(3) (3) 相对接受集的边界在原点的曲率相对接受集的边界在原点的曲率接受集边界GA在原点处的曲率大小与 (0)成正比。

为此，进行如下求导计算：3. 3. 阿罗阿罗- -普拉特相对风险厌恶度普拉特相对风险厌恶度相对小相对小赌博赌博接受接受不接受不接受4. 4. 原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义 原点(0,0)附近的相对赌博具有特殊的意义：l原点附近的相对赌博都是数量相对较小的赌博：相对小赌博l如果一个人连相对较小的赌博都不愿意接受，那么就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的相对风险规避倾向l一个人不愿意接受的相对小赌博越多，他的风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强l (0)越大，相对接受集边界GA 在原点(0,0)处越弯曲，不接受的相对小赌博便越多，风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强l u(w)w u(w)越大， (0)越大ùAn important fact： u(w)w u(w) 衡量着相对风险厌恶度相对风险厌恶度！ùArrow & Pratt’s relative measure RAP(w) of risk aversion：五、风险规避倾向的变化规律五、风险规避倾向的变化规律 经济人的风险规避倾向如何随财富数量的变化而变化？在什么情况下适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向，又在什么情况下适合使用相对风险厌恶度来测定？对于这些问题，下述回答似乎是合理的。

第一，绝对风险厌恶度AP(w)随财富量w的增加而递减 第二，相对风险厌恶度RAP(w)不随财富量w的变化而变化 ( (一一) ) 绝对风险厌恶度的变化规律绝对风险厌恶度的变化规律 对于一个用绝对数量表示的较小赌博来说，当经济人的财富较少时，这个赌博可能不被接受；但当财富较多时，接受这个赌博的可能性就大大增加了：赌一下也不是什么大不了的事情 这表明，随着经济人拥有的财富的增多，一个较小赌博被接受的可能性是上升的，从而绝对风险厌恶度下降，绝对风险规避倾向变弱 另外，如果考虑的是短期行为，那么经济人是否能够接受一个赌博，恐怕主要还要看财富数量的绝对变化因此可以说，当进行短期分析的时期，适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向 ( (二二) ) 相对风险厌恶度的变化规律相对风险厌恶度的变化规律 以相对赌博为例，由于赌金与财富成比例，因此低额赌注实际上是高额赌注的缩影，而缩影其实是对原型的模仿，结果原型与缩影中的风险规避倾向似乎应该一致这样，假定相对风险厌恶度为常数，这恐怕还是一个不错的假设。

另外，如果是在进行长期分析，那么面对遥远的未来，就不宜采用绝对数量，而采用相对数量变化恐怕会更好些，可能会更能令人信服 因此，长期分析中适合使用相对风险厌恶度来测定人们的风险规避倾向尤其是遥远未来的不确定性太大，人们保持一个不变的相对风险规避倾向便是合情合理的，即“以不变应万变”  可见，可用形式简单的效用函数 v( , ²) =   ² 2 来代替预期效用函数E[u( )]效用函数效用函数 v 仅仅是均值仅仅是均值  和方差和方差 ² 的函数的函数 (三三) ) 风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式l定理定理 设X = {xR : x > 0}，u : X  R 为VNM效用函数且 u(x) > 0 对一切 xX 成立则有下述结论：①经济人具有不变的相对风险规避倾向  1当且仅当当且仅当存在常数 a > 0 和常数 b，使得 对一切wX 成立②经济人具有始终为1 的相对风险规避倾向当且仅当当且仅当存在常数 a > 0和常数 b，使得对任何wX ，都有 u(w) = a lnw + b。

③经济人具有不变的绝对风险规避倾向 > 0当且仅当当且仅当存在常数 a 和b > 0，使得 对一切wX 成立 一个有趣的事实是，当经济人具有不变的绝对风险规避倾向  > 0且风险选择行为 服从正态分布 N( ,  ²) 时，我们有： 。