定积分的计算.ppt

8.4 定积分的计算微积分基本定理一、按定义计算定积分•定积分的定义已经给出了计算定积分的方法, 即任意分割T和任意选取 ,作积分和，再取极限. •反之，如果已知函数f(x)在[a,b]可积.由于积分和的极限唯一性,可作[a,b]特殊的分法T(如等分法等)，在 上选取特殊的取法 (入选去左端点、右端点、中点等) ，作出积分和，然后再取极限，即把黎曼和的极限化为数列的极限，就是函数f(x)在[a,b]的定积分. 例例 利用利用定义定义计算定积分计算定积分解解引引 言言 我们从定积分我们从定积分定义定义出发出发,按照按照分割分割.代替代替.求和求和.取极限取极限的方法和步骤的方法和步骤,可以计可以计算算简单简单的定积分的定积分,但需要一定的但需要一定的技巧技巧,而而且计算也很繁琐且计算也很繁琐.虽然在虽然在理论上理论上可行可行,但但在在实际上实际上往往十分困难往往十分困难.因此因此,需要从另需要从另外的途径解决定积分计算的一般方法外的途径解决定积分计算的一般方法. 本节将给出定积分计算的基本公式本节将给出定积分计算的基本公式,把计算把计算定积分定积分转化为转化为不定积分不定积分.注意：注意：二、二、积分上限函数积分上限函数(变限积分变限积分) 定定义: 设函数函数在区在区间可可积，根据，根据§8.3定理定理5 ，， 函数函数在在也可也可积，，换成成积分分变量量,以免与以免与积分分将积分变量将积分变量上限上限 相混淆相混淆.这是一个以积分上限这是一个以积分上限x为变量的函数，为变量的函数，称为称为积分上限函数积分上限函数,或称为或称为变上限的定积分变上限的定积分.类似地，又可定义类似地，又可定义积分下限函数积分下限函数，，（或（或变下限的定积分变下限的定积分））积分上限函数的积分上限函数的几何意义几何意义：：如果如果 ，有，有.对上任意上任意，， 积分上限函数分上限函数是区是区间 上的上的曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积。

定理：定理：定理：定理：按按连连续续定定义义定理定理 1 (原函数存在定理原函数存在定理)本定理本定理沟通了沟通了导数导数和和定积分定积分这两个从表面看去似不这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系相干的概念之间的内在联系;同时也同时也证明了证明了“连续函连续函数必有原函数数必有原函数”这一基本结论这一基本结论,并以积分形式并以积分形式 给出了给出了f 的一个原函数的一个原函数.正因为定理正因为定理1 的重要作用而被誉为的重要作用而被誉为微积分学基本定理微积分学基本定理微积分学基本定理微积分学基本定理.证明证明由积分第一中值定理的由积分第一中值定理的推论推论得得(i) 解决了解决了原函数原函数的的存在性存在性问题问题(ii) 沟通了沟通了导数导数与与定积分定积分之间的内在联系之间的内在联系(iii) 为寻找定积分的为寻找定积分的计算方法计算方法提供了提供了理论依理论依据据为微分学和积分学架起了桥梁为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学因此被称为微积分学基本定理基本定理.精僻地得出精僻地得出: 上的上的连续连续连续连续函数一定存在原函数函数一定存在原函数,且且是是 的一个原函数这一基本结论的一个原函数这一基本结论.定理指出定理指出 是是 的一个原函数的一个原函数,从而得到从而得到微积分基本公式：微积分基本公式：注意：注意：对于连续函数来说，可积与存在原函数等价，对于连续函数来说，可积与存在原函数等价，但对于一般函数来说，可积与存在原函数没有关系，但对于一般函数来说，可积与存在原函数没有关系，即（即（1）存在原函数，此函数不一定可积）存在原函数，此函数不一定可积.例如，函数例如，函数补充补充证证: 定理定理2 2 ——(Newton-Leibniz)公式公式此式称为此式称为微积分的基本公式微积分的基本公式.又称牛顿又称牛顿----莱布尼兹公莱布尼兹公式式常表示为常表示为 证明证明: : 基本公式基本公式表明表明:注意注意:求求连续函数连续函数定积分定积分问题问题转化为转化为求求被积函数被积函数原函数原函数的问题的问题.牛顿牛顿—莱布尼茨公式莱布尼茨公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了牛顿－莱布尼茨公式沟通了 微分学微分学与与积分学积分学之间的关系之间的关系．．例例1. ==例例2. ==四四、定积分的、定积分的分部积分法分部积分法定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式证证例例 5例例 6例例7 7 证明证明定积分公式定积分公式并并计算计算证明：证明： 这两个积分是相等的这两个积分是相等的.积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止n为偶数n为奇数于是于是证证例例1111 当当)(xf在在],[aa- -上连续，且有上连续，且有 ①①)(xf为偶函数，则为偶函数，则 ò òò ò- -= =aaadxxfdxxf0)(2)(；； ②②)(xf为奇函数，则为奇函数，则ò ò- -= =aadxxf0)(. 应用定积分应用定积分求极限求极限例例4-1 4-1 计算极限计算极限所以所以。