《现代数值计算》课件2.5 Hermite插值多项式.ppt

第二章第二章 插值法插值法学学习习目目标标：：掌掌握握多多项项式式插插值值的的LagrangeLagrange插插值值公公式式、、牛牛顿顿插插值值公公式式等等，，等等距距节节点点插插值值、、差差分分、、差差商商、、HermiteHermite插插值值、、三三次次样样条条插插值值重点是多项式插值方法重点是多项式插值方法 1、、 两点三次两点三次Hermite插值问题插值问题2.5 Hermite插值多项式插值多项式2、、 一般一般Hermite插值问题插值问题3、、 Hermite插值余项插值余项例例2.12 补充：不完全导数条件的补充：不完全导数条件的Hermite 插值插值问题描述问题描述三次三次Hermite插值的构造插值的构造高次高次Hermite插值的构造插值的构造定理定理1定理定理2 三次三次Hermite插值余项插值余项补例补例1 练习练习 2.5 Hermite插值多项式插值多项式1、、 两点三次两点三次Hermite插值问题插值问题 许多实际问题不但要求插值函数许多实际问题不但要求插值函数p(x)在插值节点处与被插函数在插值节点处与被插函数f (x)有相同的函数值有相同的函数值p (xi)=f (xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在而且要求在有些节点或有些节点或全部节点全部节点上与上与f(x)的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，能满足的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，能满足这种要求的插值问题就称为这种要求的插值问题就称为埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值( (HermiteHermite). ).求求3次多项式次多项式 使满足插值条件使满足插值条件问题问题: :已知已知函数表及导数表函数表及导数表（（1））★ 三次三次Hermite插值的构造插值的构造v存在性存在性 给定 f (xi) = yi, f '(xi) = mi, i = 0, 1. 设 代入插值条件: H3(xi) = f(xi), H'3(xi) = f '(xi), i =0,1,得其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a2, a3, 代入即得 H3(x).利用拉格朗日插值的利用拉格朗日插值的基函数法基函数法构造构造设在设在 处的插值基函数分别为处的插值基函数分别为 它们的取值如下表：它们的取值如下表：函数值函数值导数值导数值 或简记为或简记为 基函数法基函数法则满足条件（则满足条件（1））的多项式的多项式函数值函数值导数值导数值为为 先构造 0(x), 设  0(x) = (Ａ + Ｂx)(x − x1)2 ,为方便计算，可设∵  0(x1)=  '0(x1)=0 先构造 0(x), 设  0(x) = (Ａ + Ｂx)(x − x1)2 ,为方便计算，可设由 0(x0) = 1, 得 Ａ =1；由 　 所以，同理设∵  0(x1)=  '0(x1)=0∵0(x0)=0(x1)=0, '0(x1)=0综上可得综上可得（（2））由 ‘0(x0) =1, 得 Ｄ =1。

所以可得可得注：注：我们知道，过 x0, x1 两点的Lagrange插值基函数为 显然， 于是，三次Hermite插值的基函数可表为 三次Hermite插值多项式为 容易验证，当 f(x)∈C4[a, b]时, 三次Hermite插值的截断误差为 提示：设 作辅助函数 固定x∈ [a, b]，则φ(t) 有三个零点 x0, x1, x, 且 x0, x1为二重零 点反复应用Rolle定理可证　　　以上方法推广到一般情形，给定　　　以上方法推广到一般情形，给定 n+1个节点个节点 x0, x1,……,　　xn 上的函数值上的函数值 f (xi)和导数值和导数值 f'(xi) ，，可可以构造以构造 2n+1 次次HermiteHermite插值多项式插值多项式★ 高次高次Hermite插值的构造插值的构造——插值基函数法插值基函数法在在n+1个节点函数个节点函数表表及导数表及导数表已知已知其中其中互异互异,寻求寻求次多项式次多项式使满足使满足插值条件插值条件:2、、 一般一般Hermite插值问题插值问题定理定理1且已知且已知函数表及导数表，函数表及导数表，如果如果次多项式次多项式满足插值条件满足插值条件(3).则存在唯一次数不超过则存在唯一次数不超过类似于拉格朗日插值的基函数构造法，可得类似于拉格朗日插值的基函数构造法，可得Hermite插值基函数插值基函数 (4)(5)（满足插值条件（满足插值条件( (3) )的的多项式）多项式）则则有有其中其中3、、Hermite插值余项插值余项定理定理2 Hermite插值余项插值余项) )为为Hermite插值多项式，插值多项式， 证明与拉格朗日余项公式证明类似证明与拉格朗日余项公式证明类似. .则则三次三次Hermite插值余项为插值余项为 设f(x)=lnx，给定f (1)=0, f (2)=0.693147,f (1)=1, f (2)=0.5。

用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f (1.5)的近似值解 记x0=1,x1=2, 利用(2)可得得三次Hermite插值多项式由此得f (1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074例例2.12补例补例1 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f '(0) = 2, 构造二次插值函数解解 (1) 公式法公式法 设 f ’(1) = m1，由三次Hermite插值公式得， 令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 P2(x) = −x2 + 2x + 1.不完全导数条件的不完全导数条件的Hermite 插值插值解解 (2) 扩展牛顿法扩展牛顿法--用牛顿差商表构造Hermite插值 写成差商表的形式，将带导数的节点X0及其上的函数值重复一遍，无导数的节点X1不重复，即 x f(x) 一阶　　　　　　　　　　 差商 x0 0 1 x1 0 1 2 X1 x2 1 2 1 −1 练习练习 给定 f (− 1)=0, f (1)=4, f '(− 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).解解 x0 = − 1, x1 = 1, f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.。