旁切圆的性质及应用.doc

旁切圆的性质及应用三角形的旁切圆是指与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，它的有关性质在中 考和竞赛题中经常用到，但课本中几乎没有涉及，这给解题增添了不少麻烦下面就来谈 谈旁切圆的有关性质及应用1•性质如图1,0 O切BC边于D，切AB、AC的延长线于 E、F,那么:(1) 0D=0E=0F ;1(2) Z B0C =90° -- Z A ；2(3) BE CF = BC事实上其逆命题也成立：(4) 如果O为Z A平分线上的一点，且1Z BOC =90 ° Z A ,2那么O ABC的旁切圆圆心(旁心)5) 如果O为Z A平分线上一点，OE丄AB于E, OF丄AC于F，且BE C^ BC，那 么O ABC的旁切圆圆心(旁心)对于逆命题的证明如下：如图2,过点O作OD丄BC于D图2 因为O在Z A平分线上，OE 丄 AB , OF 丄 AC ,所以 OE=OF在AC的延长线上截取 FM=BE ,所以 Rt△ BEO 也 RtA MFO ,所以 Z - - Z 1, OB=OM , Z 2 二 Z 3 因为 Z EOF =180° - Z A,1又 Z BOC =90 ° -丄 Z A ,21所以/ 2 - Z 4 =90° 一丄 Z A2 ，1即 Z 3 Z 4 = 90 ° - - Z A2所以Z BOC= Z COM , △ BOC◎△ MOC ,（若BE+CF=BC，即BC=CM，则也全等）所以Z匕-Z 1 - Z :■,即 O在Z EBC的平分线上，所以 O ABC的旁心。

2.应用例1.如图3, EG、FG分别为Z MEF和Z NFE的平分线，交点为G , PB、PC分别为Z MBC和Z NCB的平分线，交点为 P,如果Z G=60则Z P度数为 A B E M图3解：因为G是Z MEF和Z NFE平分线交点，所以G AEF的旁心，同理 P ABC旁心, 由性质（2）,知1Z P = 90 — Z A = Z G = 60 2c例2.如图4,在正方形 ABCD中，AB=1 , AC是以B为圆心，AB为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点 E与A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边 DC 于点F, G为切点1 ）当/ DEF=45时，求证：G为线段EF中点2）设AE=x , FC=y，求y关于x的函数解析式并写出自变量取值范围 解：（1）因为O B与厶DEF两边延长线 EA、FC及第三边EF都相切, 所以O B DEF旁切圆，AE=EG , FC=GF,因为Z DEF=45 ° ,Z D=90 ° ,所以Z DFE=45 °即 DE=DF,故 AE=FC，即 EG=GF(2)由于O B为厶DEF旁切圆，由性质(3),得EF = AE 亠 FC = x 亠 y ,因为 ED =1 — x, DF =1 — y ,由勾股定理，知(x y)2 =(1-x)2 (1—y)2，1 _ x化简，得 y = (0 ：：： x ：：：1)1 +x例3.如图5,梯形ABCD中， 上, AE、BC的延长线交于 F,AD // BC,/ D=90 ° , BC=CD=12，/ ABE=45 ° , E 在 DC 若解：过B作BG丄DA，垂足为G,△ CEF °显然BCDG为正方形,BG=BC=12。

由此，知B在/ D的平分线上，1又 / ABE =45° = 90° / D2由性质(4),得 B AED的旁切圆圆心,根据性质(3)，知 AG+EC=AE 设 AG=a, EC=b，贝Ua+b=10 ①由 ad2+de2=ae2, 得 (12 -a)二(12 -b)2 =100②a = 4, 4a = 6由①、②，得 或Q = 6 ； [_b = 4由 Rt△ ADE s Rt△ FCE，可求得FC=3 或 FC=8,1所以 S^ADE S^cef 一 X (6 3) X 122=541或 SAADE SACEF = ? X (8 8) X 12 =96例4.如图6,^ ABC是边长为1的正三角形，△ BDC是顶角/ BDC=120 °的等腰三角形， 以D为顶点作一个 60°角，与 AB交于M，与AC交于N，连结 MN求证：△ AMN的 周长为2图6 解：由题设易知/ ABD= / ACD=90 °，且 DB=DC , 故D是/ A平分线上一点1又 Z MDN =60 ° =90 ° Z A2故 D AMN的旁心由性质（3）,知 MN=BM+NC ， 所以△ AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=2AB=2 。

例 5.女口图 7,在五边形 ABCDE 中，Z ABC= Z AED=90 ° , AB=CD=AE=BC+DE=1 ，则这个五边形面积为 图7解：由题设条件 DE丄AE , AB丄BC,且AB=AE=1，联想到三角形旁切圆的性质， 延长BC、ED交于点M，则有A是Z DMC平分线上一点，又 DC=DE+CB ,由性质（5）,知 A DMC的旁切圆圆心，过A作AH丄DC ,由性质（1）,知 AH=AB=AE=1 ,又 BC+DE=CD ,所以 S五边形 ABCDE - S^ ABC SA ADE S^ADC二 2Saadc 二 1年级初中学科数学版本期数内容标题旁切圆的性质及应用分类索引号分类索引描述与自学主题词旁切圆的性质及应用栏目名称学法指导:供稿老师审稿老师录入蔡卫琴一校康纪云二校审核。