北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练习（二）理科数学试题及答案.doc

东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2013.3一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（ ）A． B. C. D. 2．已知复数(),则“”是“为纯虚数”的（ ）A．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程（　　　）　　A．　 B. 　 C. 　 D.4．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）A.96 B. 120 C.144 D. 3005．已知满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（ ） A． B． C． D．6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图[Z A． B. C. D.7．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是(　　)A. B. C. D. 8．已知函数则下列结论正确的是（ ）A．在上恰有一个零点　　 　　B. 在上恰有两个零点C. 在上恰有一个零点　 　 D. 在上恰有两个零点二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量的分布列如下，则的值等于　　　　10．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .11.如图，是圆的切线，切点为，点在圆内，与圆相交于，若，，，则圆的半径为 .12．在中，为中点，若，，则的最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①；②；③．其中直线的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.(本小题满分13分) 已知函数 其中 ,.（1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.05006065707580859095100分数17. (本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分) 设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区 间上的最大值.19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于．(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；(2) 求证：；(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列．东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）参考答案2013.3一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)题号12345678答案BADBACDC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)题号91011121314答案②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数其中 ,.（1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.解：（1） = …………………………………5分 所以函数的值域为 …………………………………………………7分（2）由 得 …………………………………………………9分 所以由 ………………………………………11分得 所以函数的单调增区间为. ………13分16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.05006065707580859095100分数解：(1) 77.5； ………………………………………3分 (2) 所求为：直线与直线之间的直方图的面积， 因此， ………………………7分 答：这40名学生的成绩在之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件， 因为 ……………………………………10分 所以 ……………………………………12分 答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0．3087． ………13分17. 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面， 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：底面为矩形 …………………………………4分（2）证明：取，连接 , 是平行四边形， //，，// ……………………………………8分(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，假设段上存在一点，使得平面平面，设， 设平面的法向量为 ， ， 令 设平面的法向量为 令 ，解得 线段上存在点，且当时，使得平面平面. ……………13分18.设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解答 （1） ……………………………2分在上存在单调递增区间存在的子区间，使得时在上单调递减，即 解得当时，在上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令 ；在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分所以的最大值为， ………………………10分解得 ……………………13分19．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．解析：（1）设动点的坐标为，由题意得 ……………2分化简得 当时；当时所以动点的轨迹的方程为和（） ………………………5分 （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为 ．由 设则 ， …………………………7分因为，所以的斜率为．设，则同理可得 ， …………………………8分 …………………………………11分 ……………………………13分当且仅当即时，取最小值16． …………………………14分20．已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于．(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；(2) 求证：；(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列．解：(1) 由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质． …………………………………………4分(2) 具有性质，所以与中至少有一个属于由，有，故，故，故由具有性质知，又，，，…，，从而故 ……………………8分(3) 由(2)可知， …………………………① 由知，，，…，，均不属于 由具有性质，，，…，，均属于 ，，，…， 即…………………………② 由①②可知 故构成等差数列． …………………………………13分·1·。