人教九年级数学第23章-旋转—旋转基础知识及专题(版-含答案).docx

旋转及综合专项一、旋转有关定义1、定义：把一种图形绕着某一点 O 转动一种角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角2、如果图形上的点 P 通过旋转变为 P1 ，那么这两个点叫做这个旋转的相应点3、（1）相应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在相应点所连线段的垂直平分线上；（2）相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等4、把一种图形绕着某一点旋转180° ，如果它可以与另一种图形重叠，那么就说这两个图形有关这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形的对称点叫做有关中心的对称点5、（1）有关中心对称的两个图形，对称点所连线段都通过对称中心，并且被对称中心平分；（2）有关中心对称的两个图形是全等图形6、把一种图形绕着某一点旋转180° ，如果旋转后的图形可以与本来的图形重叠，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心二、旋转有关结论如 图 ， 将 DABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 a 角 到DAB1C1 点 B 和点 B1 为相应点，点C 和C1 为对 应点结论 1：旋转中心为相应点所连线段垂直平分 线的交点，也即相应点所连线段的垂直平分线 均通过旋转中心。

如图，线段 BB1 的垂直平分 线l1 、线段CC1 的垂直平分线l2 都通过旋转中心点 A 运用这个结论我们可以运用相应点坐标求出旋转中心的坐标由于相应点所连线段的 垂直平分线均通过旋转中心，因此只需求出两 组相应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标结论 2：相应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角a如图， DABB1 和 DACC1 均为等腰三角形， ÐBAB1 = ÐCAC1 = a结论 3：相应点与旋转中心所构成的三角形均相似如图， DBAB1 ∽ DCAC1 结论 4：旋转前、后图形全等如图， DABC @ DAB1C1 示例 1：已知 A(-3,2) 、O(0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段O1 A1 ，其中O1 (-1,-1) 、A1 (-3,-4) ，O1 为点O 的相应点， A1 为点 A 的相应点，求点 P 的坐标分析：旋转中心为相应点所连线段垂直平分线的交点，因此只规定出线段 AA1 和线段 OO1 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标解析：∵ A(-3,2) ， A1 (-3,-4) ∴直线 AA1 : x = -3∴直线 AA1 的垂直平分线l1 : y = -1∵ O(0,0) ，O1 (-1,-1) ∴直线OO1 : y = x∴直线OO1 的垂直平分线l2 : y = - x - 1点 P 为 l1 与 l2 的交点，联立：，可得： P(0,-1) 。

∴点 P 的坐标为 P(0,-1) 附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的措施（必须掌握知识点） 已知点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) ，求线段 AB 的垂直平分线l 解决措施如下：第一步：根据点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 的坐标一方面求出直线 AB 的解析式：l1 : y = k1 x + b1 第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 觉得 l2^ l1 ，因此k1 · k2 = -1 ，从而求出k 2 = -，因此线段 AB 的垂直平分线l 的解析式转化为：第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点 M (,) 分析：既然直线l 为线段 AB 的垂直平分线，因此直线l 通过线段 AB 的中点，也即线段 AB 的中点在直线 l 上第四步：将线段 AB 的中点 M (,)代入 l : 中求出 b2 的值最后将 b2 的值代入中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式示例：已知点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 解决方式如下：第一步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得直线 AB 的解析式 l1: y = - x + 3 。

第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 觉得 l2^ l1 ，因此k1 · k2 = -1 ，从而求出k 2 =2 ，因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y = 2 x +b2 第三步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得线段 AB 的中点 M (0,3) 第四步：将点 M (0,3) 代入 l : y = 2 x +b2 中可得 b2 = 3 因此，最后可得线段 AB 的垂直平分线为 l : y = 2x + 3 提示：解决措施需要牢记，此外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90° 问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后运用相应直角边线段长度相等，从而求出相应 点坐标示例：将点 A(-3,4) 绕点 P(-1,1) 逆时针旋转90° ，求点 A 的相应点 A1 的坐标 分析：旋转不变化图形线段长度及图形线段的夹角因此有 PA = PA1 由于旋转角为90° ， 即 ÐAPA1 = 90° ， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA = PA1 ，以平行于坐标轴的线段构造两个 直角三角形。

很显然，这两个直角三角形时全等三角形然后运用直角边线段长度关系 即可求出点 A1 的坐标解析：如图，过点 P 作直线l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B ，过点 A 作 AM ^ l 于 M ，过点 A1 作 A1 N ^ l于 N 易证 DAMP @ DPNA1 （ ASA ），则有： AM = PN ， PM = A1 N ∵ A(-3,4) ， P(-1,1) ∴ AM = 3 ， PM = 2 ， PB = 1∴ N (2,1) ∴ A1 (2,3) 四、旋转示例解析（理解如何运用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转有关题型时，最常用的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重叠，从而运用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再运用旋转知识 解决有关问题因此，在解决此类题型时，同窗们特别要注意题干中与否阐明某某三角形为等腰 三角形，特别注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同窗可以考虑如下运用旋转来解题如下通过某些实例来协助同窗们理解如何运用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而运用旋转知识解决有关问题。

例 1：已知如图 DACB ，ÐACB = 90° ， AC = AB ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 ÐBPC 的度数？ 分析：这里明显可以判断 DACB 为等腰直角三角形，因此可以运用将其中一腰旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形图（1） 图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 AC 绕点 C 逆时针旋转90° 与另一腰 BC 重叠，从而带动 DCAP 逆时针旋转90° 至 DCBH ，可得：DCAP @ DCBH ，CP = CH，ÐHCP = 90°，PA = BH = 3∴ ÐCPH = 45° ， PH =2PC = 2∴ PH 2 + PB 2 = BH 2∴ ÐHPB = 90°∴ ÐBPC = 135°图（2）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 BC 绕点 C 顺时针旋转 90° 与另一腰 AC 重叠，从而带动 DCPB 逆时针旋转90° 至 DCHA ，可得 DCPB @ DCHA ，可得 ÐCHP = 45° ，再运用勾股定理证ÐPHA = 90° 即可例 2：已知，如图所示，等腰 RtDACB ，ÐACB = 90° ， D 为 DACB 外一点， 且满足 ÐADC = 45° ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的值？分析：这里已知等腰 RtDACB ，可以将 等腰 RtDACB 的一腰 BC 顺时针旋转90° 与 另一腰 AC 重叠，从而带动 DDCB 顺时针旋转90° 至 DHCA 。

解析：将 DDCB 绕点C 顺时针旋转90° 至 DHCA 则有， DDCB @ DHCA ， DC = HC，ÐDCH = 90°，ÐHDC = 45°，DH = DC = 4又∵ ÐADC = 45°∴ ÐHDA = 90° ，最后运用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值例 3：已知如图， DABC 为等边三角形， PA =， PB = 3 ， PC =，求 ÐAPC 的度数？分析：这里已知 DABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将 DABC 一边 AC 顺时针旋转 60° 与另一边 AB 重叠 解析：将 DAPC 绕点 A 顺时针旋转 60° 至 DAHB ，则 DAPC @ DAHB，AP = AH，ÐHAP = 60°，PC = HB = ∴ DAHP 为等边三角形 ∴ HP = PA = ∴ HB 2 + HP 2 = PB 2∴ ÐBHP = 90°∴ ÐAPC = ÐAHB = 150° 例 4：已知如图，四边形 ABCD ，ÐADC = 60° ，ÐABC = 30° ，且 AD = AC ，求证：AB 2 + BC 2 = BD 2 分析：这里实际可知 DADC 为等边三角形，满足旋转条件。

解析：将 DADB 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 DACH 可得 DABH 为等边三角形，又∵ ÐABC = 30° 从而可得 ÐCBH = 90° ，直角三角形就 可以使用勾股定理了例 5：如图，已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，且满足 ÐBDC = 120° ，试问，BD，DA，DC与否有拟定的数量关系？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 DACH 则有， DABD @ DACH ， ÐABD = ÐACH DADH 为等边三角形 ∴ DA = DH∵ ÐBDC = 120° ， ÐBAC = 60°∴ ÐABD + ÐACD = 180°∴ ÐACH + ÐACD = 180°∴ D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分）∴ DA = DC + DB 变式拓展：如图已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，但 ÐBDC 大小不拟定，BD = 3 ，DC = 4 ， 试问 DA 的最大值为多少？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 DACH 。

则有， DABD @ DACH ， DADH 为等边三角形∴ CH = BD = 3 ， DA = DH∵ DH £ DC + CH∴ DA £ 7 ∴ DA £ DC + CH例 。