抽象函数的性质及解题技巧.doc
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重 庆 书 之 香 教 育 抽象函数专题 CHONG QING EDUCATION抽象函数（一）常用抽象函数及其模型特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) [或]指数函数 f(x)=ax (a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y) [对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y) [正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx（二）抽象函数常出题型1、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题例：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数的值域2、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.练习：函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ） A . 2005 B. 2 C.1 D.03、值域问题例.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.4、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例1、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式解:---- （2）---（3）小结：通过解方程组的方法可求表达式怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略例2、已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
5、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） 例1、设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1
注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称 例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数 证明：设t=x-y,则，所以f(x)为奇函数例15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又求实数的取值范围解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，，所以由得，解得设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证f(x)为奇函数；证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)---- ①令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．7、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周 期 性对 称 性1→T=2→对称轴Û是偶函数；→对称中心（a,0）Û是奇函数2→T=→对称轴；→对称中心；3f(x)= -f(x+a)→T=2f(x)= -f(-x+a)→对称中心4→T=2→对称中心5f(x)=±→T=2f(x)= b-f(-x+a)→对称中心6f(x)=1-→T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴） 由恒等式判断：前符号相同，判断函数的周期性（1） 前有负号，周期为前后法则相减绝对值的2倍：（2） 前无负号，周期为前后法则相减的绝对值：前符号相反，判断函数的对称性（1） 前无负号，函数图像关于轴对称，对称轴为，前后法则相加和的一半：（2） 前有负号，函数图像关于点对称，对称中心为： 4。
