9-5 多项式的因式分解 课件 苏科版七年级数学下册.pptx

9.5 9.5 多项式的因式分解多项式的因式分解第第9 9章章 整式乘法与因式分解整式乘法与因式分解逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u因式分解因式分解u公因式公因式u提公因式法分解因式提公因式法分解因式u运用平方差公式分解因式运用平方差公式分解因式u运用完全平方公式分解因式运用完全平方公式分解因式u因式分解的一般步因式分解的一般步骤骤知知识点点因式分解因式分解知知1 1讲讲11.定定义义把一个多把一个多项项式写成几个整式的式写成几个整式的积积的形式，叫做的形式，叫做这这个多个多项项式式的因式分解，也叫做把的因式分解，也叫做把这这个多个多项项式分解因式式分解因式.知知1 1讲讲2.整式乘法与因式分解的关系整式乘法与因式分解的关系(1)整式乘法与因式分解一个是整式乘法与因式分解一个是积积化和差，另一个是和差化和差，另一个是和差化化积积，是两种互逆的，是两种互逆的变变形形.即：多即：多项项式式 整式的整式的积积.(2)可以利用整式乘法可以利用整式乘法检验检验因式分解的因式分解的结结果的正确性果的正确性.知知1 1讲讲特别解读：特别解读：分解的结果一定是积的形式；分解的结果一定是积的形式；每个因式必须是整式；每个因式必须是整式；各各因因式式要要分分解解到到不不能能再再分分解解为为止止(它它与与分分解解因因式式所所要要求求的的数集有关，本节的分解因式仅限于有理数范围内数集有关，本节的分解因式仅限于有理数范围内).知知1 1讲讲例1A知知1 1讲讲解题秘方：解题秘方：紧紧扣因式分解的定扣因式分解的定义进义进行行识别识别.解法提醒：解法提醒：识别因式分解的两个关键词：识别因式分解的两个关键词：“多多项项式式”说说明明等等式式的的左左边边是是多多项项式式，即即分分解解的的对对象象是是多项式多项式.“整整式式的的积积”说说明明右右边边的的结结果果是是整整式式的的积积.一一句句话话：因因式分解是整式的和差化积的变化过程式分解是整式的和差化积的变化过程.知知1 1讲讲知知1 1讲讲B例2思路点拨：思路点拨：还还没没有有学学习习因因式式分分解解的的方方法法，要要判判断断因因式式分分解解的的正正确确性，可以通过逆向变形性，可以通过逆向变形(整式乘法整式乘法)检验因式分解是否正确检验因式分解是否正确.知知1 1讲讲解题秘方：解题秘方：根据因式分解与整式乘法之根据因式分解与整式乘法之间间的关系的关系进进行判断行判断.解：解：利用整式的乘法法利用整式的乘法法则则将各将各选项选项中等式的右中等式的右边边展开，与展开，与等式的左等式的左边边相比相比较较，左右两，左右两边边相等的只有相等的只有选项选项B.知知2 2讲讲知知识点点公因式公因式21.定义定义 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式个多项式各项的公因式.特别解读：特别解读：1.公因式可以是数，也可以是单项式或多项式公因式可以是数，也可以是单项式或多项式2.若若多多项项式式各各项项中中含含有有互互为为相相反反数数的的因因式式，则则可可将将互互为为相相反数的因式统一成相同的因式反数的因式统一成相同的因式.知知2 2讲讲2.公因式的确定方法公因式的确定方法(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公约数；则取各项系数的最大公约数；(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的次数最低的知知2 2讲讲3.注意：注意：若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.如如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是的公因式是x(x-y).知知2 2讲讲例3指出下列多指出下列多项项式各式各项项的公因式：的公因式：(1)3a2y-3ya+6y；解解：3，6的的最最大大公公约约数数是是3，所所以以公公因因式式的的系系数数是是3；有有相相同同字字母母y，并并且且y的的最最低低次次数数是是1，所所以以公公因因式是式是3y.知知2 2讲讲知知2 2讲讲(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3；解解：观观察察发发现现三三项项都都含含有有x-y，且且x-y 的的最最低低次次数数是是2，所以公因式是所以公因式是(x-y)2.知知2 2讲讲(4)-27a2b3+36a3b2+9a2b.解解：此此多多项项式式的的第第一一项项含含有有“-”号号，应应将将“-”号号提提取取变变为为-(27a2b3-36a3b2-9a2b).多多项项式式27a2b3-36a3b2-9a2b 各各项项系系数数的的最最大大公公约约数数是是9；各各项项都都有有a、b，且且a的的最最低低次次数数是是2，b的的最最低低次次数数是是1，所所以以多多项项式式-27a2b3+36a3b2+9a2b 各各项项的公因式是的公因式是-9a2b.知知2 2讲讲解题秘方：解题秘方：紧紧扣公因式的定扣公因式的定义义求解求解.方法点拨：方法点拨：找找准准公公因因式式要要做做到到“五五看看”，即即：一一看看系系数数：若若各各项项系系数数都都是是整整数数，应应提提取取各各项项系系数数的的最最大大公公约约数数；二二看看字字母母：公公因因式式的的字字母母是是各各项项相相同同的的字字母母；三三看看字字母母的的指指数数：各各相相同同字字母母的的指指数数取取次次数数最最低低的的；四四看看整整体体：如如果果多多项项式式中中含含有有相相同同的的多多项项式式，应应将将其其看看成成整整体体，不不要要拆拆开开；五五看看首首项项符符号号，若若多多项项式式中中首首项项符号是符号是“-”号，一般情况下公因式符号为负号，一般情况下公因式符号为负.知知3 3讲讲知知识点点公因式公因式31.提公因式法提公因式法如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法用字母表示为用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).知知3 3讲讲2.提公因式法的一般步骤提公因式法的一般步骤(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；(2)确定另一个因式：另一个因式即多项式除以公因式所确定另一个因式：另一个因式即多项式除以公因式所得的商；得的商；(3)写成积的形式写成积的形式.知知3 3讲讲特别解读：特别解读：1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.2.提提公公因因式式法法就就是是把把一一个个多多项项式式分分解解成成两两个个因因式式的的积积的的形形式式，其其中中的的一一个个因因式式是是各各项项的的公公因因式式，另另一一个个因因式式是是多多项式除以这个公因式所得的商项式除以这个公因式所得的商.知知3 3讲讲下列因式分解正确的是下列因式分解正确的是()A.12abc-9a2b2=3ab(4-3ab)B.3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2)C.-x2+xy-xz=x(x+y-z)D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)B例4知知3 3讲讲解题秘方：解题秘方：提取公因式提取公因式,就是要提各就是要提各项项系数的最大公系数的最大公约约数数与相同字母或因式的最低次与相同字母或因式的最低次幂幂的的积积.因此因此,提提取取时时有两个要点：有两个要点：(1)确定系数的最大公确定系数的最大公约约数；数；(2)找相同字母或因式的最低次找相同字母或因式的最低次幂幂.知知3 3讲讲解：解：A 选项选项中公因式中公因式3ab 找找对对了了,但括号内的因式不但括号内的因式不对对,故故错误错误；B 选项选项，3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2),正确；正确；C 选项选项中中,首首项项系数系数为负为负数数,应该应该是是-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故故错误错误；D 选项选项中中,括号内最末一括号内最末一项项剩下的系数剩下的系数“-1”漏漏掉了掉了,应该应该是是a2b+5ab-b=b(a2+5a-1)，故，故错误错误.知知3 3讲讲解法提醒：解法提醒：当当多多项项式式首首项项系系数数是是负负数数时时，一一般般应应先先提提出出“-”号，号，但要注意，但要注意，此时括号内各项都要改变符号此时括号内各项都要改变符号.知知4 4讲讲知知识点点运用平方差公式分解因式运用平方差公式分解因式41.平方差公式法平方差公式法用字母表示：用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积差的积.特别解读：特别解读：1.因因式式分分解解中中的的平平方方差差公公式式法法是是乘乘法法公公式式中中的的平平方方差差公公式逆用的形式式逆用的形式.2.(a+b)(a-b)a2b2知知4 4讲讲2.平方差公式法的特点平方差公式法的特点(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；号相反；(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差个数的和，另一个二项式是这两个数的差.知知4 4讲讲3.运用平方差公式分解因式的步骤运用平方差公式分解因式的步骤一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面后面.二定：二定：确定公式中的确定公式中的a 和和b，除，除a 和和b 是单独一个数或字母外，是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体表示一个整体.三套：套用平方差公式进行分解三套：套用平方差公式进行分解.四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.知知4 4讲讲例5分解因式：分解因式：(1)4x2-25y2；解：解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)；(2)(a+2)2-1；(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)；知知4 4讲讲加法交换律加法交换律知知4 4讲讲(4)16(a-b)2-25(a+b)2.解：解：16(a-b)2-25(a+b)2=4(a-b)+5(a+b)4(a-b)-5(a+b)=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b).当当多多项项式式的的第第一一项项系系数数为为负负数数时时，通通常常先先提提取取“-”号号，使使括括号号内内首首项项系系数数为为正正数数，且且括括号号内各项都要变号内各项都要变号.知知4 4讲讲特别提醒：特别提醒：1.确定公式中的确定公式中的“a”“b”时，不能只看表面，如时，不能只看表面，如4x2=(2x)2,“a”指的是指的是2x；16(a-b)2=4(a-b)2，“a”指的是指的是4(a-b).2.平平方方差差公公式式可可以以连连续续运运用用.如如(3)题题，必必须须做做到到每每个个因因式式不不能能再再分解为止分解为止.3.运运用用平平方方差差公公式式分分解解因因式式时时，若若a、b都都是是多多项项式式，先先要要添添加加括号，再去括号，然后化简最后结果括号，再去括号，然后化简最后结果.解题秘方：解题秘方：先确定平方差公式中的。