几何辅助线作法小结.doc

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.中考应用以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC中考应用（三）、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD （四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.中考应用如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

五）、旋转1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.2：D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F1） 当绕点D转动时，求证DE=DF2） 若AB=2，求四边形DECF的面积3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；中考应用1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？（图1）（图2）（图3）2、已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）．圆中作辅助线的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE 图1（上） 图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决例题1：如图，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。

例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+弧BC）的度数 一、造直角三角形法1.构成Rt△,常连接半径例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E. 求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求证:∠OAE = ∠OBF;4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60°求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；5．正多边形相关计算常构造Rt△例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF;(2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是上一点,AM延长线交DC延长线于F.求证: ∠F = ∠ACM;四、切线的综合运用1．已知过圆上的点，常_________________例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证： BC与⊙O2相切. 例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．求证：CD与⊙O相切于点E．2.两个条件都没有,常___________________例10. 如图，AB是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。

求证：⊙O也与其他三边都相切；五、两圆相关题型1．两圆相交作_____________________例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF;2.相切两圆作________________________例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点 求证：∠BAC = ∠BDP；3．两圆或三圆相切作_________________例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2，又⊙O3与三个半圆两两相切求⊙O3的半径；4．一圆过另一圆的圆心，作____________例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B 两点，且⊙O1过点O2，过B点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点. 求证：△ACD是等边三角形；六、开放性题目例17．已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线平分边．（1）与是否相切？请说明理由；（第23题）（2）当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．新文章哦· 刘项原来不读书 (魏伯河) · 高考恢复三十年回顾：几多欢欣几多愁 () · 万宁调研（二）——大茂初级中学 (吴益平) · 如何引导学生"开口说" (梁珠) · 高考改革三十年：在迷雾中寻找方向 () 。