九年级上册数学期中复习.pdf

平行四边形知识要点：（一）平行四边形:两组对边分别平行的四边形是平行四边形二）平行四边形的性质:从它的边，角,对角线三个方面进行研究1.由定义知平行四边形的对边平行；2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形三）平行四边形的判定1.利用定义判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形5.对角线互相平分的四边形是平行四边形例.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形分析:是错误的反例：作ABC,使 AB=AC,在 B C 上取一点E 使得BEEC,当NAED=NEAC且 ED=AC时，可证 AAEC 名EAD（SAS）,可得 ND=NC,从而有 ND=NB,D氏 AB,但 BErAD,四边形ABED不是平行四边形矩形、菱形、正 方 形、()矩形:定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴如图.判定：1、用定义判定2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。

)菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形三)正 方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质正方形是轴对称图形，它有四条对称轴如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等腰三角形的性质和判定等腰三角形是一种特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实些重点、难点】重点：等腰三角形的性质与判定难点：灵活利用等腰三角形的性质与判定关键：掌握好等腰三角形的性质及判定知识要点】1、等腰三角形的一些重要性质：等腰三角形的两底角相等这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（“三合一”）这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据2、以上的两条重要性质在教科书中被当作两条重要定理除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用等腰三角形两腰上的中线相等已知：在AABC中，AB=A C,若BD,CE分别是AC,AB边上的中线，则有BD=CE证明：BD,CE是AB,AC边上的中线（已知）;.AD=2AC,AE=2AB（中线定义）：AB=AC（已知）；.AD=AE在AABD和AACE中，AD=AE（S 知）,N A=NA（公用角）AB=AC（S 幼.AABDAACE（SAS）.BD=CE（全等三角形对应边相等）等腰三角形两腰上的高相等已知：在AABC中，AB=A C,如果BD,CE分别是AC,AB边上的高，那么BD=CE同学可以试着证明一下，还用全等三角形去证等腰三角形两底角的平分线相等已知：在AABC中，A B=A C,如果BD,CE分别是/A B C和/A C B的平分线，那 么BD=CEo3、等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

已知：如图，在AABC中，ZB=Z C,求证：AB=AC分析：要想证出AB=AC需构造全等三角形考虑学过等腰三角形性质中的“三合一”，我们不妨作顶角的平分线，或过A作AD_LBC于D证明：过A作AD_LBC于D/也8=/也=90垂直定义）在 AABD和 AACD中,2B=NC（2 幼 ZADB=ZADC（5ilE）AD=AD（公共边）.,.AABDAACD（AAS）AB=AC（全等三角形对应边相等）4、等腰三角形分类 腰 与 底 不 等 的 等 腰 三 触等腰三角形i 腰与底边相等的等腰三角形（等边三角形）5、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰,二它可能是底最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边如：已知等腰三角形的两边分别是3cm,5 c m,则周长此时有两种情况：11cm或 13cm当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=l 1cm：当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm若两边分别是4cm,8 c m,则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。

另种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm,不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内直角三角形全等的判定【知识讲解】1、直角三角形全等的判定定理（斜边、直角边定理）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（筒写为“H L”）用几何语言表示为：如图，在A A B C和中，如果N C =N C=9 0A B=A,B）,A C=A C（或 B C =B C ）,那么，R t A A B C R t A A B C这里“R t”表示“直角”，R t A A B C表示“直角三角形A B C”直角三角形是特殊三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备因此，判定两个直角三角形全等时，完全可以用以前学过的定理及推论由于直角:角形中，有一个角是直角，而直角都相等，所以要判定两个直角三角形全等时,要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件，只需找另外两个条件即可如：在 A A B C 和 A A B，中，Z C=Z C =9 0 ,当 A C =A，C,B C=B C，时，就可判定 A B C2 A B C，理由是“边角边”定理；当NA=/A，A C =A，C时，就可判定理由是“角边角”定理；当NA=NA，B C =B。

时，就可判定A A B C四理由是“角角边”定理由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性例如：对于一般三角形来说，已知两边及其中一边的对角对应相等（即“边边角”），不能判定这两个三角形一定全等而对于直角三角形来说：“斜边，直角边”定理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，不过这个角是直角这是直角三角形的特殊性决定的，这个定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形是不成立的2、角的平分线把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线角的平分线有非常重要的性质1）定 理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等已知：0C是NAOB的平分线，点P在0C上，P D _ L O A于D,P E _ L O B于E,求证：P D=P EAD分析：证明PD=PE可考虑用三角形全等来证证明：PD_LOA 于 D,PEJ_OB 于 E（已知）ZPDO=/PEO=90垂直定义）在 APDO和 APEO中，2P0D=NP0E（已知）一注：角平分线的另一不悚示方式 0)3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 必=la l=l-a(a 0,b 0)og 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即寸W=而(a 0,b 0)。

二次根式的运算一、知识要点：1.二次根式的加减运算：先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，再参照多项式的加减运算，去括号与合并同类二次根式2.二次根式的乘法：法 则：,4b=4ab(a 对且 b N O)(2)类型：(i)单项二次根式乘以单项二次根式；(i i)单项二次根式乘以多项二次根式；(i i i)多项二次根式乘以多项二次根式在进行乘法运算时，有时可以应用乘法公式，使计算简便3.二次根式的除法：(1)法则：而(a 次 且 b 0)(2)类型:(i)单项二次根式除以单项二次根式(应用运算法则计算)(i i)多项二次根式除以单项二次根式(转化为单项二次根式除以单项二次根式)(i i i)除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和(把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式)一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,(a/0),它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4,因式分解法二、方法、例题精讲：I、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如(x-m)2=n(叱0)的方程，其解为x=m J.7例 1.解 方 程(1)$(3X+1)2=7(2)9X2-24X+16=112.配方法：用配方法解方程ax?+bx+c=O(a#O)先将常数c移到方程右边：ax*bx=-cb c将二次项系数化为1：x2+x=-b b c b方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+fl x+(2a)2=_a+(2a fb 川一加.方程左边成为一个完全平方式：(x+访)2=4a2b-Aac当 b2-4ac0 时，x+2a=2G-x二2a(这就是求根公式)例2.用 配 方法解方程3X2-4X-2=03 .公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b?-4 a c的值，当b2-4 a c 0_&m 2 _ 4ac时，把各项系数a,b.c的值代入求根公式x=五(b 2-4 a c K)就可得到方程的根例3.用公式法解方程 2X2-8X=-54 .因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法例4.用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8 (2)2X2+3X=0(3)6X2+5X-5 0=0(选学)(4*-2(百+石)x+4 6=0 (选学)(3)解：6X2+5X-5 0=0(2 x-5)(3 x+1 0)=()(卜字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)，2 x-5=0 或 3 x+1 0=05 1 0/.X 1=2 ,*2=-不 是 原方程的解4)解：x 2-2(4+/)x+4 后=()(V4 可分解为2 25，此题可用因式分解法)(x-2后)(x-2 )=0.为=2/次=2有是原方程的解小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数直接开平方法是最基本的方法公式法和配方法是最重要的方法公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。

但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求学握的三种重要的数学方法之-一,一定要掌握好三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系 数 法)一元二次方程根的判别式一、知识要点：1.一元。