高二等差数列.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑高二等差数列 3．已知数列?an?，a1?3，a2?6，且an?2?an?1?an，那么数列的第五项为（ ） A. 6 B. ?3 C. ?12 D. ?6 2、由an与Sn的关系求an 由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种处境议论，然后验证两种处境可否用统一的解析式表示，若不能，那么用分段函数的形式表示为an??(n?1)?S1 ?Sn?Sn?1(n?2)例1．(14分)已知数列的通项公式an?3n?2n?1，求前n项的和 例2.(14分)（1）已知Sn?n2?2n，求an；（2）已知Sn?n2?3n?1，求an 变式1．(16分) 数列?an?为正项数列且4Sn?(an?1)2，求通项an 变式2.已知数列的通项公式an?3n?2n?1，求前n项的和 典型※例题解析※ 〖例〗根据以下条件，确定数列?an?的通项公式 思路解析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。

解答：（1） （2） 1 ?? 故 累乘可得， （3） 注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌管由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、揣摩an的方法，以及累加an=（an-an?1）+（an?1-an?2）+??+（a2-a1）+a1；累乘：an= anan?1an?1an?2a2a1等方法 a1二、等差数列及其前n项和 （一）等差数列的判定 ※相关链接※ 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，其次种是利用等差中项，即 2an?an?1?an?1(n?2) 1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3那么a10为???????????? （ ） A、-600 B、-120 C、60 D、-60 9.在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，结果三项之和为132，前n项之和为240，那么n= 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断 2 （1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,那么{an}是等差数列； （2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），那么{an}是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，那么只需说明任意连续三项不是等差数列即可 ※例题解析※ 〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且得志Sn?Sn?1?2SnSn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{ 1 21}是等差数列； Sn（2）求an的表达式 思路解析：（1）Sn?Sn?1?2SnSn?1?0?11与的关系?结论； SnSn?1（2）由 1的关系式?Sn的关系式?an Sn11111-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{} Sn?1SnSnSn?1Sn解答：（1）等式两边同除以SnSn?1得 是以 11==2为首项，以2为公差的等差数列 S1a1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时， 2nSnS1（2）由（1）知 ?1?11?2又∵a1?，不适合上式，故an??an=2Sn·Sn?1= 122n(n?1)???2n(n?1)（二）等差数列的根本运算 ※相关链接※ (n?1) (n?2)1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式 Sn? n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五个量a1，an，d,n, Sn,知其中三个就能求223 另外两个，表达了用方程的思想解决问题； 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个根本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：由于 SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列 n222n※例题解析※ 〖例〗已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn?2np?nq(n?N?,p,q为常数)，且x1， x4，x5成等差数列求： （1）p,q的值； （2）数列{xn}的前n项和Sn的公式 思路解析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和 解答：（1）由x1=3得2p?q?3??????????????① 又 x4?24p?4q,x5?25p?5q,且x1?x5?2x4，得 3?25p?5q?25p?8q???????② 由①②联立得p?1,q?1 （2）由（1）得xn?2n?n， （三）等差数列的性质 ※相关链接※ 1、等差数列的单调性： 等差数列公差为d，若d>0,那么数列递增；若d<0,那么数列递减；若d=0,那么数列为常数列 2、等差数列的简朴性质： 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和 4 （1）若m+n=p+q,那么am?an?ap?aq,更加：若m+n=2p，那么am?an?2ap。

（2）am,am?k,am?2k,am?3k,仍是等差数列，公差为kd; （3）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,L也是等差数列； （4）Sn?1?(2n?1)an； （5）若n为偶数，那么S偶?S 奇?nd；若n为奇数，那么S偶?S 奇?a中； （中间项）2（6）数列{cgan},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，是 {bn}等差数列 典型例题 1．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，那么S3n?＝________；225 2.（2022福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7?14，那么a3?a5的值为（ ） A．2 答案 B 3.（2022厦门一中文）在等差数列?an?中， a2?a8?4,那么 其前9项的和S9等于 （ ） A．18 B 27 C 36 D 9 答案 A 24.（2022长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，{a}2a?a?2a11?0，那么a7的值n37．．． B．4 C．7 D．8 为 A．0 答案 B （ ） B．4 C．0或4 D．2 5、（2022全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,那么a2?a4?a9= 答案 24 6、在项数为2n+1的等差数列中，若全体奇数项的和为165，全体偶数项的和为150，那么n等于 ( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，那么它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 8、等差数列{an}的公差为 1，且S100=145，那么奇数项的和a1+a3+a5+??+ a99=( ) 2(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值 5 — 7 —。