梯形蝴蝶定理.docx

梯形蝴蝶定理如上图，在梯形中，存在以下关系：1. 相似图形，面积比等于对应边长比的平方 S1：S2=a2/b22. S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab3. S3=S44. S1xS2=S3xS4(由 S1/S3=S4/S2 推导出)5. AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F,已知三角形AFD的面积是6,三 角形DEF的面积是4,求四边形BCEF的面积为多少？【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得厶BEF面积等于6,而厶ABF的面积为6x6一4=9因为△ BCD面积等于厶ABD，所以△ BCE面积为9+6-6-4=5 因此所求四边形面积为5+6=11右上角为A,左下角为BS1和S2的的三角形是相似的(AAA) ~~~所以面积比=边长比的平方即a2： b2设梯形高为 h, S3+S2=1/2 bh=S4+S2所以 S3=S4设S3+S1的三角形的AB上的高为hl,可知S3:S1=0B:0A因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=0B:0A=b： a所以 S1 ： S2 ： S3 ： S4= aA2 : bA2 : ab ： ab射影定理公式：如图，RtA ABC中，z ABC=90。

BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下:(1) (BD)A2=AD・DC, (2) (AB)A2=AD・AC， (3) (BC)A2=CD・CA等积式(4) ABxBC=ACxBD(可用“面积法”来证明)直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：(主要是从三角形的相似比推算来的)证法一在厶 BAD 与厶 BCD 中，•: z ABD+z CBD=90°，且z CBD+z C=90°，z ABD=z C，又:z BDA=z BDC=90°.•.△BAD s^CBD・•・ AD/BD=BD/CD即BD"2=AD・C其余同理可得可证注：由上述射影定理还可以证明勾股定理有射影定理如下：AB'2=AD・ AC , BC'2=CD・CA两式相加得：AB"2+BC"2=AD •C+CD •C = (AD+CD)・AC=AC'2 .即AB"2+BC"2=AC"2 (勾股定理结论)证法二已知:三角形中角A=90度，AD 是高.用勾股证射影•/ AD"2=AB"2-BD"2=AC"2-CD"2 ,・•・ 2AD'2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BDx CD.故 AD"2=BDx CD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BDx CD=BDx (BD+CD) =BDx BC ,AC=CD+AD=CD+BDx CD=CD(BD+CD)=CDx CB.综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。