基本数学概念的探讨与改革1.docx

基本数学概念的探讨与改革1曹俊云(河南理工大学数信学院 河南焦作454003 E-mail: cjy @hpu. cdu. cn 0371-3980600) 摘要 形式逻辑无法建立无矛盾的数学体系；唯物辩证法是阐述基本数学概念的必要 方法.数学上的基本术语几乎都是理想性的事物，理想依赖于现实.无穷集合是有穷 集合序列的极限，而且这个极限具有不可达到的性质•无尽小数、无穷大、无穷小的 真实意义都是无穷数列.线段长度的真值是误差界趋向于零时的极限;理想实数是以 有理数为项的无穷序列的极限;无有大小的理想点是有大小的近似点的极限;理想平 行线是近似平行线的极限;所有上述极限都具有不可达到的性质.瞬时速度的真实意 义是足够小时段上的平均速度的足够准的近似值.满足误差界的近似方法与逐次逼 近法是研究连续性现实数量的根本方法.关键词 无穷，无穷集合,点，实数,平行线，数学归纳法，排中律，时空的无限可分性The Inquisition and Reformation on FundamentalMathematics ConceptCAO Jun-yun(Department of Mathematics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454003,china )Abstract: The formalist logic could not make mathematics system possessed consistency. Materialist dialectics is necessary method to explain mathematics concept. The fundamental terminologies in mathematics are all almost the ideal object. Ideal objects are all depended on the existence. Infinite set is the limit of infinite sequence of finite set, and the limit possesses the nature of it could not be reached. The true sense of infinite decimal, infinity, and infinitesimal are all the infinite sequence・ The true value of length of line segment is the limit of approximate value sequence, where error bounds tend to 0. The ideal real number is the limit of rational number sequence; the ideal point is the limit of approximate point sequence; the ideal parallel line is the limit of approximate parallel line sequence; and the above limits possess all the nature of it could not be reached. The true sense of twinkling velocity is sufficiently exactly approximate value of average value on sufficiently small time segment. The approximation method satisfied error bounds condition and the method approached step by step are fundamental method to settle continuous real quantity.Keywords: Infinity, Infinite set, Point, Real number, Parallel line, Mathematical induction, excluded middle, The infinity nature to cut segment of time and line1.问题的提出1962年笔者接受了工科院校概率论的教学任务，备课中笔者发现了 “连续型随机基木 事件不是不可能事件，依照测度理论定义其的概率是零的理论是不完善的”的问题.这个问 题把笔者带进了对集合测度理论、元数学、几何基础、非标准分析的研究中.在这些学科的 研究中，笔者乂看到了给海涅(Heine)定理打下了问号的违反这个定理的怪定理与分球奇 论⑴；还看到了连续统假设这个“至今仍然是一个卜分困难的问题”⑺，在后来的学习与教 学T作中还发现了 "函数、芝诺悖论、物理学中的发散积分、爱因斯坦相对论、傅立叶积 分变换与数学物理方程、实数理论中的许多问题.为解决这些问题，经过多次反复探索，最作者简介：曹俊云(1932~),男，河南唐河人，副教授，从事应用数学与数学基础研究.麻发现在使用形式逻辑推导Z前，必须使用唯物辩证法（即以生产实践为基础，并使用“概 念应当是可更改的、可修改的、灵活的、变动的，否则它就不可能正确地反映现实”的辩证 逻辑观点）研究数学理论中的基本概念.还需指出：在讨论这些数学基本概念时，需要类似 于元数学（即证明论）那样，把这些基木概念看作对象语言并使用另一种语言（即通常的语 言）进行阐述.2.自然数、自然数集合与无穷的应有概念2.1自然数与近似研究方法的关系众所周知：根据自然数的十进位记述法则，按照从小到大的顺序，可以得到下边的自然 数的标准序列：0, 1, 2, 3, •••・••, 11, • —, n, n+1, •—,…… （1）人们可以用白然数表示离散集合中元素的个数，也可以用它来表示线段度量中的“尺数”. 但是我们必须知道：克隆尼克（L. Kronecker）的“自然数是上帝创造的”观点是错误的， 自然数是人造的.事实上，在忽略鸡蛋大小弟别的条件下才能得出“鸡蛋的个数”的概念； 在忽略长度测量谋芳的条件下才能得出“长度的尺数”的概念；自然数是人们为了表达这两 种数而提出的表达符号.这个问题说明：H然数是在近似研究方法下产生的，而且也只有在 近似方法下才能应用于生产实践.如果应用于生产实践时，不研究鸡蛋大小差别与长度测量 误差，那么就免不了失败.这个问题还说明：数列（1）以及白然数的现有公理与四则运算 祁只是形式系统的叙述；创•对数学理论的实践意义和它的应用来讲，这种叙述是不完善的.2.2自然数序列的两条公理与自然数序列的无穷性依照前述白然数的标准序列（1）,参照皮亚诺（G Peano） H然数公理体系，我们可以提出如下两条白然数的公理:公理2・1： 0是自然数.公理2.2：每一个自然数n都有一个唯一的n+1为它的继数，这个继数也是自然数.例 如：0是自然数，0的继数是1, 1是自然数，1的继数是2, 2是自然数，2的继数是3；…….与现行的以集合论为基础的教科书（例如汪芳庭《数学基础》21页）比较，可以发现: 这两条公理是对他们的五条白然数公理的前两条公理的改写I改写的原因是：他们的叙述 需要事先承认有一个无穷集合存在.但在自然数提出Z前，我们没有根据承认有无穷集合存 在（现实世界中是没有无穷集合的）•所以笔者从序列（1）出发提出这两条公理.从这里 的公理（2）出发，可以得到：H然数标准序列是人们永远写不到底的序列，也可以说：它 是“无有终了即无有最后元索”的序列.在这个意义下，我们称这个序列为无穷数列.由此 可知：无穷具有无有终了的意义.这个意义是笔者在无穷概念争论中要坚持的一个意义.2.3自然数集合的辨证概念现行教科书中的白然数集合概念，是不恰当的；为此，根据必须“从事物的相互联系和 相互依赖去观察现象和事物”的辩证逻辑观点研究这个概念.笔者首先根据a然数的标准序 列（1）,提出如下的以集合为元素的无穷序列：{0}, {0, 1}, {0, 1, 2},…,{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.9. 10. 11}……（2） 定义2・1：上述以集合为元素的无穷序列中的每一个集合都叫做近似自然数集合.公理2. 3：上述以近似自然数集合为元素的无穷序列可以有一个理想性质的极限集合， 它的具体表达式是：{0, 1, 2, 3, ……,9, 10, 11, ……,99, 100, 101, ……,……}.与现行教科书中白然数集合的表达式比较，这个表达式中多了一个省略号，笔者用这个省略号表示：“这个集合中的自然数具有是永远写不完的意义” •这个极限集合叫做理想的自然集合，依照习惯，用符号N表示这个集合.需要强调的是：关于这个集合的认识，笔者与现在的集合论学者有根木上的不同•首先,笔者不同意康托尔建立集合论时使用的“无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、 完成的、存在着的整体”的实无穷观点•笔者认为：自然数集合是人们不能构成的非正常集 合•为此，笔者提岀了下边的定义与定理.定义2. 2：若有时间T存在,使得在［0,T］时段内把集合A中的元素全部表达符号列出（写 出）来，则称集合A为能被人们构成的集合；否则称A是不能被人们构成的集合.定理2・1：臼然数集合是不能被人们构成的集合.证明：用反证法，设写出一个白然数需要的最小时间为J由于对不论怎么大的T,总 有自然数N存在，使N£>T成立，根据上述定义，自然数集合是不能被人们构成的集合.其次，笔者也不同意ZFC公理集合论中在“归纳集是存在的”的幌了下把这个不能构 成的集合偷换成可以构成的集合.集合论的学者问我:“归纳集存在不存在？ ”我I叫答说:“可 以说存在，但存在的是一个不可构成的理想集合；不能在存在的幌了下把不可构成的、元素 个数还在增加着的集合看作已经构成的集合去提出无穷基数与无穷序数的名词”，也又问“不 能构成怎么会存在呢？ ”我的冋答是：存在的是一个“理想性质的非现实存在的非正常集 合”.不仅自然数集合，有理数集合、实数集合都是不可构成的理想性质的无穷集合；它们 都缺乏现实存在的意义，数学中使用这些名词只是为了方便的一种说话的方式.例如，有了 这个名词，我们就可以说：因为我们有了白然数集合，任何现实集合的元索个数都可以用白 然数表示，但当有人问到：“自然数集合中的元素个数是多少呢”的问题时，我就冋答说： 这个集合是一个极限性质的、动态性质的、没有构造完毕的理想集合，它的个数是一个叫做 无穷大的非正常数（具体叙述参看下一节）・根据前边的讨论，哥徳尔曾经提出“所有集合 都是可构成集”⑶的公理，是违反上述公理2.3的不应有的公理.2.6自然数集合的元素个数定义2.4：理想集合的元素个数是取极限工作Z前的可构成的近似集合序列中的近似集 合元素个数的数列的极限.定理2.2：理想白然数集合的元素个数是非整常数+ oo .证：根据定义2.4与公理2.3,自然数集合的元素个数是自然数列｛〃｝的极限，根据数学分析中求数列极限的计算方法，可以得到这个数列的极限是非正常数+ 00.定义2.5：元素个数为理想无穷大的集合叫做无穷集合.根据定理2.2与这个定义可知：自然数集合、有理数集合、实数集合的元素个数都可以 用非正常数+ 8表示；但各个无穷集合之间元素个数又不是相同的；还可以根据他们依赖 的近似集合序列去比较它们之间元索多少.根据这一点，我们就可以解决伽利略的疑难问题 T.至于具体讨论，限于篇幅在此从略；有兴趣的同志可以参看《伽利略问题与无。