信号与系统吴大正第四章作业.doc

信号与信号与线线形系形系统统（第四版）吴大正主（第四版）吴大正主编编第四章第四章课课后后习题习题： ：4.1 证证明明(n 为为正整数正整数)是在区是在区间间的正交函数的正交函数  cos ,cos 2 ,,costtntL0,2集它是否是完集它是否是完备备的正交函数集？的正交函数集？解解:由于由于   2 0,, 0coscosnmnmmtdtnt所以在区所以在区间间内是正交函数集内是正交函数集0,2存在存在 使得使得mtsin  2 0,2, 0 sincosnmnm mtnt所以不是完所以不是完备备的正交函数集的正交函数集4.2 上上题题中的函数集在区中的函数集在区间间是否是正交函数集？是否是正交函数集？0,解：解：   0,2, 0 coscosnmnm mtdtnt所以仍所以仍为为正交函数集正交函数集4.3 讨论图讨论图 4.1-2 所示的前所示的前 6 个沃个沃尔尔什函数在什函数在区区间间内是否是正交函数集内是否是正交函数集 0,1解：由解：由题题意得意得1 05 , 4 , 3 , 2 , 1, 0,kdttkWal1 050 , 50 ,, 0,,nmnmdttnWaltmWal 1 050 , 1,,nmdttnWaltmWal所以所以前前 6 个沃个沃尔尔什函数在什函数在区区间间内是正交函数集内是正交函数集。

 0,14.4 前四个勒前四个勒让让德函数多德函数多项项式式为为  10tP  ttP1 21 232 2ttP tttP23 253 3证证明它明它们们在在区区间间内是正交函数集内是正交函数集1,1解：由解：由题题意得意得   01 111 10tdtdttptp   021 231 12 21 10dttdttptp   023 251 13 31 10dtttdttptp   021 231 13 21 11dtttdttptp   023 251 124 31 11dtttdttptp   021 23 23 251 123 31 12dttttdttptp所以所以前四个勒前四个勒让让德函数多德函数多项项式在式在区区间间内是正交函数集内是正交函数集1,14.5 实实周期信号周期信号在区在区间间内的能量定内的能量定义为义为f t,2 2T T 222TTEft dt如有和信号如有和信号12f tttff(1)若若与与在区在区间间内相互正交，内相互正交，证证明和信号的明和信号的总总能量等于能量等于1tf2tf,2 2T T各信号的能量之和各信号的能量之和。

2)若若与与不是互相正交的，求和信号的不是互相正交的，求和信号的总总能量1tf2tf解：解：(1)由由题题意得意得       222 2212 1222222]2[][21TTTTTTdttftftftfdttftfdttfE因因为为与与在区在区间间内相互正交，内相互正交，1tf2tf,2 2T T所以所以  02221TTdttftf得得      EEdttfdttfdttftftftfETTTTTT21222 2222 1222 2212 1]2[(2)有第一有第一问问可得可得           222 22221222 1222 2212 12222222]2[][21TTTTTTTTTTTTdttfdttftfdttfdttftftftfdttftfdttfE所以所以  2221212TTdttftfEEE4.6 求下列周期信号的基波角求下列周期信号的基波角频频率率和周期和周期。

T(1) (2) 100jtecos[3 ]2t(3) (4)   cos 2sin 4ttcos 2cos 3cos 5ttt(5) (6)cossin24ttcoscoscos235ttt解：解：(1) 基波角基波角频频率率，周期，周期srad /100sT502(2) 基波角基波角频频率率，周期，周期srad /2sT42(3)的基波角的基波角频频率率， ，的基波角的基波角频频率率，取两者最大，取两者最大 t 2cos2 t 4sin4公公约约数数为为和信号的基波角和信号的基波角频频率，所以率，所以,周期周期srad /2sT2(4) ,,的基波角的基波角频频率分率分别为别为,,t2cost3cost5cos2132,取三者最大公取三者最大公约约数数为为和信号的基波角和信号的基波角频频率，所以率，所以，周，周53srad /期期为为sT22(5)， ，的基波角的基波角频频率分率分别为别为， ，取两者最大取两者最大t2cost4sin 2142公公约约数数为为和信号的基波角和信号的基波角频频率，所以率，所以，周期，周期为为。

srad /4sT82(6) ， ，， ，的基波角的基波角频频率分率分别为别为,t2cost3cost5cos 21,,取三者最大公取三者最大公约约数数为为和信号的基波角和信号的基波角频频率，所以率，所以3253,周期周期为为.srad /30sT6024.7 用直接用直接计计算傅里叶系数的方法，求算傅里叶系数的方法，求题题 4.7 图图所示周期函数的傅里叶系数所示周期函数的傅里叶系数(三三角形式或指数形式角形式或指数形式)4 -1 0 1 4 tf1(a)-2 -1 0 1 2 3 t tf1(b) tsin解：解：(a)图图所示周期所示周期，角，角频频率率4T2 L, 2, 1, 0,2sin1][21 411 221 1222  nn neejndtedtetfTFjnjntjnTTtjn n (b)图图所示周期所示周期，角，角频频率率2T  L2, 1, 0,121][41sin21121 0111 022  nnedteejdtetdtetfTFjn ntjntjtjnTTtjn n 4.8 如如题题 4.8 图图所示的所示的 4 个周期相同的信号。

个周期相同的信号T T/2 0 T/2 T ttf11（a）-T T/2 0 T/2 T ttf21(b)-T T/2 0 T/2 T t1tf3(c)-T T/2 0 T/2 T ttf41(d)(1)用直接求傅里叶系数的方法求用直接求傅里叶系数的方法求图图(a)所示信号的傅里叶所示信号的傅里叶级级数数(三角形式三角形式)2)将将图图(a)的函数的函数左左(或右或右)移移，就得，就得图图(b)的函数的函数，利用，利用(1)的的结结 tf12T tf2果求果求 的傅里叶的傅里叶级级数 tf2(3)利用以上利用以上结结果求果求图图(c)的函数的函数的傅里叶的傅里叶级级数 tf3(4)利用以上利用以上结结果求果求图图(d)的函数的函数的傅里叶的傅里叶级级数 tf4解：解：(1)由由图图可得可得   20 ,202, 01TttTtTtf所以可得所以可得 212222 0220TTTtdtTTdttfTa  L3 , 2 , 1,1cos]sin1sin1[4cos22cos222 02022 022nnndttnntntnTdttntTTdttntfTaTTTTTn L3 , 2 , 1,coscos1 cos[4sin22sin22 02022 022nnndttnntnntTdttntTTdttntfTbTTTTTn所以所以傅里叶傅里叶级级数数为为 tf1  1121sincoscos1cos 41nntnnntnnntf (2)由由图图形可得形可得 221Ttftf 21cos[]sin[]222411 1coscoscossin411 1 cos11cossin411nnnnTTtntntfab nnnn tnn tab nn nn tn tnnnn          (3)比比较较和和的波形可得的波形可得 tf3 tf2  tftf23  221 cos11cossin3411 1 cos11cossin411ntn tn tfnnnn nn tn tnnnn         (4)由由图图形可得形可得   tftftf324    423211221 cos11cossin41 cos11cossin411 2[1 cos]1cos21nntttfffnn tn tnnnn tn tnnnn nn t nn            4.9 试试画出画出题题 4.9 图图所示信号的奇分量和偶分量。

所示信号的奇分量和偶分量2 -1 0 1 2 3 ttf11（a）-T -T/2 0 T/2 T ttf21(b)解：由定解：由定义义可得可得表示奇分量，表示奇分量，表示偶分量表示偶分量 tfod tfev     22odevf tfttff tfttf对对于于(a)图图 奇分量奇分量 偶分量偶分量1/2-3 -2 -1 0 1 2 3 t11/2-3 -2 -1 0 1 2 3 t tfev tfod对对于于(b)图图 奇分量奇分量 偶分量偶分量-T -T/2 0 T/2 T t tfod1/2-T -T/2 0 T/2 T。