2025年高考数学总复习专项训练：高考大题(三) 数列的综合运用.pdf

专练3 3 高考大题专练(三)数列的综合运用1.2024全国甲卷(理)记 S.为数列 诙 的前w项和，且 4s,=3 诙+4.(1)求 斯 的通项公式；(2)设，=(I)求数列 父 的前n项和Tn.解析：(1)因为 4S”=3a+4,所以 4s+i=3a”+i+4,两式相减得 4a+i=3a+i 3a，即 a”+i=-3 a .又因为4 s i=3 m+4,所以m=4,故数列 斯 是首项为4,公比为一3 的等比数列.所以斯=4(3)i.(2)方 法 一 由及题意得，-=(1广 1斯=4-3-1,所以4(1 3+27+3 32+”3 E)，1337；=4(1-31+2-32+3-334-两式相减可得一2=4(1+3i+3?H-卜 3七一 -3 )=4(y 3”)=(24)32,所以 7；=(2n-l)3+l.方法二 由(1)及题意得小=(-1)-%4 3 厂 1,所以当 2 2 时，1+4止3-1,两边同时减去(2”1)3,得 口一(2-1)3=T“T(2-3)3 3,故 一(2-1)3Q为常数列*所以 一(2wl)3=Ti(2Xl l).3=l,所以 T“=(2w1)3+1,.当 w=l 时，/=4=4,满足上式，所以=(21)3+1.2.设等差数列 斯 的公差为d,且 dl.令d=,记 S”7“分别为数列 ,2“的前”项和.(1)若 3a2=3.+的,S3+7 3=2 1,求 斯 的通项公式；(2)若 为 为等差数列，且 S99799=99,求 d.解析：因为 3 2=3。

1+的,所以 3(21+24,所以3 d=m+2 d,所以 i=d,所以斯=.e ,n2+n n2+n n-1因为 b n=r 所以 b n=r -3(的+的)3(d+3d),2.3 ,4 9所以 S3=2=2 =6d,73=%+历+优=行+z +行=r因为 8+73=21,9 1所以6 d+/=2 1,解得d=3 或 d=,因为d l,所以d=3.所以 斯 的通项公式为%=3n.(2)因为儿=2 三,且 儿 为等差数列，所以 262=61+63,即 2义，=.+.,2 3所以m+d =ax+2d)所 以 帚-3 a M+2/=0,解得 ai=d 或=2 d.当4 1=d 时，an=n d,所以儿=annd+1dS999 9 (d+9 9 d)-2-=9 9 X 5 0 1,T9999(Z?i+/?9 9)9 9 亭%9 9 X 5 12 d2+n H2+H99(9 9)22因为 5 9 9-7 9 9 =9 9,9 9 X 5 1所以 9 9 X 5 0 Q 2=9 9,即 5 0/d5 1=0,解得d=|或 d=1（舍去）.当i=2 d时，an=(n+l)d9所以为=an_ n(n+1)d d 9 9 (2 d+10 0 d)2=9 9 X 5 1d,9 9 (l+9 9)8 9 9=nn2+9 9 出十为9)()+万)9 9 X 5 0%=2 =2 =F-因为 S 9 97 9 9 9 9,“、)9 9 X 5 0所以 9 9 X 5 1dz =9 9,即 5 1-J-5 0=0,解得d=一瑞(舍去)或 d=l(舍去).综上，d=|.斯+1，”为奇数，3.已知数列 斯 满足m=1,an+i=I 斗/用火 斯+2,”为偶数.记 仇=如，写 出 ，历，并求数列 仇 的通项公式；（2）求 斯 的前2 0 项和.解析：（1）由题设可得匕 1 =。

2 =1 +1=2,岳=4 =俏+1=2 +2+1=5又2）1+2 =2 k+1+1,2 左+1 =2 左+2,（G N*）故2/+2=2*+3,即 b +i=b”+3,即 6 +i 3=3所以 6 0 为等差数列，故 6 =2+（-1）X 3=3 w 1.(2)设 的前 20 项和为 S 2 0,则 S20=l+2+3+20,因为 1=2 1,3=4 1,，19=2 0-1,所以 S20=2(2+4H-F18+20)10=2(加+历+6 9+6 1 0)10(I9X10 1=2X1 1 0 X 2+X3J-10=300.4.2022新高考I 卷 记 a 为数列 斯的前，项和，已知勾=1,是公差为g 的等差数歹U.求 斯的通项公式；(2)证明：+H-1工 2.a2 an解析：(l)*.*ai=l,=1.又：榭 是公差为3 的等差数列,Sn S,1 斯一=一Ql十3孑(n1),1 2 1即 s=q )斯=(几+2)当 时，S i=g (九+1)斯1,斯=S S九-i=g (几+2)斯,(几+1)1,2 2,即(几 一1)&=(+1)斯 ,2 2,飙 八 一1n+1n 1,心 2,当 2 时,-a-n.-a-n-.的.。

2an-an-i 2+1n 1 n24 3 n(n+1)12 T=2-n(+l)Q=2当n=l时，a=l 满足上式，.ann(+1)2、-I 1 ,几(n+1)(2)证明：由(1)知 斯=2 1 =2(一,)，C ln n(+1)H +1+-=2(1-+7 H-7 )=2(1).a a2 an v 2 2 3 n n+1 n+1.,N*,0V=7 W、,.I 一 一 7 1,n-r 1 2 n-r 12(1-77)2,+T-1-2.n+1 a 2 an5.2023全国甲卷（理）记与为数列 斯 的前项和，已知2=1，2Sn=nan.求 斯 的通项公式;(2)求数歹U 罗 的前项和Tn.解析：(1)当=1 时，2 s i=a i,即 2 a i=a i,所以的=0.当 时，由 2sH=na,得 2S 1 =(一 1)an-?两式相减得 2annan(n 1)tzn-1,即(九 一1)斯 i=(-2)an，当=2 时，可得 i=0,故当心 3 时，巫=二，则 竽Aan-i n-2 、an-an-i 2 n2 n-3整理得广=九一1,因为 2=1,所以斯=一1(23).0-2当=1,=2 时，均满足上式，所以诙=一1.(2)方 法 一 令为二等1=生,1 2 H 1 Y I则 Tn=bi+b2-bn-l+bn=2+分-卜 2 G +师 ，由一得；Tn=2+今+*T-卜、n 2即 Tn=2-2(方法二 设瓦=所 以 打=等1=号=(2 +0/g故 4=,b=0,q=/.故 人=亡=至=一 1=2,C=B=2.小 2+n故 G=(A +8)q+C=(一 一 2)团 +2,整理得 Tn=2 .2 16.记 a 为数列 出 的前见项和，瓦为数列 的前项积，已知2 +=2.n(1)证明：数列仍“是等差数列；(2)求 斯 的通项公式.解析：(1)因为儿是数列 8 的前项积,h所以22时，S =U ,bn-l2 1代入不+v=2可得,2bLibn+bn=2,整理可得 2bn-l+l=2bn,即 bn bn-i=(2 2).2 13 3又 而+而=5=2,所以加=,故 电 是以3当 为首项，1为公差的等差数列.由可 知,儿=?-I n(w+1)-27.2 0 2 3 新课标H卷 已知%为等差数列，bn=an6,为奇数c 在佃翔 记 5 ，T 分别为数列 斯，d 的前2 斯，为偶数”项和，S 4=3 2,7 3 =16.(1)求 如 的通项公式；(2)证明：当 5 时，TnS.解析：(1)设等差数列 斯 的公差为d、fan6,w为奇数因为d=,为偶数，所以仇=16,岳=2。

2=2 1+2 ,/?3=的6=i+2 d6.因为 S 4=3 2,A=16,所以4 i +6 d=3 2(ai6)+(2 i+2 d)+(1+2 d6)=16整理,得I12 防-+3 d7=16 =5d=2,解得所以的通项公式为2 几+3.(2)由(1)知 =2 几+3,所以Sn底5+(2+3)2=层+4 .当为奇数时，4=(l+14)+(3+22)+(7+30)H4(2九 一 7)+(4 几+2)+2 九 一 3=l+3+7HF(2H-7)+(2H-n-123)+14+22+30HF(4+2)=-(-1+2H-3)2n 1亍(14+4n+2)3层+5-10+2 2当5 时，Tn Sn=3层+5几一102一(+4 )=层一3九 一102(一5)(+2)-9-0,所以TnS.当 n 为偶数时，7；=(1+14)+(3+22)+(7+30)+(2-5)+(4 +6)=l+3+7HH(2H-5)n n2(1+2-5)2(14+4+6)3/+7+14+22+30+,+(4n+6)=.当心5 时，Tn-Sn=3 n 2ltl 一(层+4)=二=(丁，0,所以 TnSn.综上可知，当w5时，TnSn.8.设 斯 是首项为1 的等比数列，数列 儿 满 足 与=竽.已 知.，3a2,9a3成等差数列.(1)求 斯 和 6“的通项公式;(2)记 S.和分别为 斯 和 也 的前项和.证明：T磊.解析：设 斯 的公比为q,则为=q-1.1 I 77因为Q1,3 2,9的成等差数列，所 以 l+9 q 2=2 X 3 q,解得,故=JFT,m.3 3 2 3 几(2)由(1)知 S”=-Y=2(1一至)，T n=3+孕+孕 T-母，1-3 1、13 Tn 3?H-+券一得,7；=|+*+*H-h/,-(1)r o2 T 3 3，_n_ _1 X、_ 口 _印3-1 3+1 2 U 3n 3+i，1-.整理得Tn=l 筌1,则 2GS“=2(|1(1-3 尸一的 故 T裔.。