矩阵分析习题答案.doc

第三章1、 已知是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间中向量定义内积为（1） 证明在上述定义下，是酉空间；（2） 写出中的Canchy-Schwarz不等式2、 已知，求的原则正交基提示：即求方程的基本解系再正交化单位化3、 已知试求酉矩阵，使得是上三角矩阵提示：参见教材上的例子4、 试证：在上的任何一种正交投影矩阵是半正定的Hermite矩阵5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵，已知，6、 试求正交矩阵，使为对角矩阵，已知，7、 试求矩阵，使（或），已知，8、 设n阶酉矩阵的特性根不等于，试证：矩阵满秩，且是Hermite矩阵反之，若是Hermite矩阵，则满秩，且是酉矩阵 证明：若，观测知为的特性值，矛盾，因此矩阵满秩要，只要故由知为H的特性值由Hermite矩阵只能有实数特性值可得，即满秩9、 若分别是实对称和实反对称矩阵，且，试证：是酉矩阵证明：10、 设均是实对称矩阵，试证：与正交相似的充要条件是与的特性值相似证明：相似矩阵有相似的特性值与正交相似与的特性值相似若与的特性值相似，又均是实对称矩阵因此存在正交阵Q，P使其中为正交阵11、 设均是Hermite矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特性值相似。

证明：同上一题12、 设均是正规矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特性值相似同上13、 设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得14、 设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得15、 设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：与的特性值实部为0证：A为正定Hermite矩阵，为满秩的是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特性值实部为0,因此的特性值实部为016、 设均是Hermite矩阵，且A正定，试证：与的特性值都是实数证明：同上题是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特性值为实数,因此的特性值是实数17、 设A为半正定Hermite矩阵，且，试证：证明：A的特性值为，矩阵的行列式等于特性值之积特性值为，18、 设A为半正定Hermite矩阵，，B是正定Hermite矩阵，试证：证明：，为满秩的为半正定Hermite矩阵，由上题，19、 设A为正定Hermite矩阵，且，则证明：存在，又，20、 试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正定Hermite矩阵之和是正定的提示：考察21、 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A＋B是可逆矩阵。

提示：A为正定Hermite矩阵，为满秩的是反Hermite矩阵，特性值实部为0,，因此22、 设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似证明：充足性，酉相似相似 必要性，A，B是n阶正规矩阵，，又A与B相似, 与的特性值相似,可设，23、 设，试证：总存在，使得是正定Hermite矩阵，是负定Hermite矩阵提示：A的特性值为，则的特性值为24、 设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则提示：25、 设A、B均为正规矩阵且，则与均为正规矩阵提示：用Ｐ１５０定理，可以同步酉对角化 26、 设，试证：是酉矩阵提示：27、 设A为n阶正规矩阵，为A的特性值，试证：的特性值为提示：，，因此的特性值为28、 设，试证：（1）和都是半正定的Hermite矩阵；（2）和的非零特性值相似提示：（1） （2），特性值的重数也相似，参见P19129、 设A是正规矩阵，试证：（1）若（为自然数），则；（2）若，则；（3）若，则30、 设，求证如下三条件等价：　（1）为正规矩阵　（2）　（3）解：（1）（2）由2）（3）,由（2）（1）,由31、设，则A可以唯一的写为，其中为Hermite矩阵。

且A可以唯一的写为，其中B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵解：设，其中为Hermite矩阵，则唯一性（略）。