波函数与波动方程.doc

第二章 波函数与波动方程第二章 目 录§2.1 波－粒两象性 ............................................................................3§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释— 几率波 ....4§2.3 波函数的性质，态叠加原理 ....................................................5（1）波函数的性质 ..........................................................................................................5（2）位置和位能的平均值 ..............................................................................................8（3）动量平均值 ..............................................................................................................9（4）态叠加原理 ............................................................................................................12§2.4 含时间的薛定谔方程（Schrodinger’s equation） ...............15(1) Schrodinger’s equation 的建立 ........................................................................15(2) 对 Schrodinger equation 的讨论 ......................................................................17§2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题 ....................................23(1) 不含时间的薛定谔方程 .......................................................................................23（2） 定态 ......................................................................................................................24§2.6 测不准关系 ............................................................................25（1）一些例子 ................................................................................................................25（2）一些实验 ................................................................................................................27（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 ............................................................28（4）能量－时间测不准关系 ........................................................................................28（5）一些应用举例 ........................................................................................................292第二章 波函数与波动方程既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。

主要表现：a. 波－粒两象性（粒子）EP（波）（Planck 假设）Einstein 关系h（ ， ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系kP2k具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述)EtrP(i)trk(iAeb. 物理量取值不一定是连续的辐射体辐射的能量取值 nh,210氢原子的能量 020n8aeE cm59.em4a82由于平常粒子的波长 Å，所以观察不到干涉, 衍射现象微观粒子，如电子1Å，因此在原子线度下可能显示出波动性而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动1性将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因经典粒子 经典波√原子性（整体性） 实在物理量的空间分布轨道 √干涉，衍射这两者是不相容的描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述§2.1 波－粒两象性想像一个实验事实：a．每次接收到的是一个电子，即电子确是以一个整体出现；b．电子数的强度 ，21P,但， ；21Pc．电子枪发射稀疏到任何时刻空间至多一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。

因此，我们可得到下面的结论：a'. 不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电子） ，也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象） ；3b'. 不能想像，电子通过 时，能像经典电子（有轨道）那样来描述（因2,1） ；12Pc'. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象） 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间分布如按经典波描述，现在应是电子密度分布，这当然不是但是，这种干涉现象在经典中也有类似表示，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度分布为， ， 1I2I12II我们是如何解释这干 涉现象呢？通过缝 时， 水波以描述ti1eh通过缝 时，水波以 描述 2ti2eh通过 ， 时， 则以 ti1)(描述强度 ， 21I2I)h(hh2*1211 cos2（ ， ， ）ie2ie即为干涉项cosI1电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到的电子多少这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也可用 函数来描述（它们一般应是复函21,数）， 21P2)(2*11（ ）cosP21 称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数） ，也就是说，接收器上某位置21,电子数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。

2空间若有两个波，强度则应由波函数 的模的平方来描述但是，这种描述是什1么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样出现§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释—几率波真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是 1926 年被 Max Born 提出的4如电子用一波函数 来描述，则)x(① 从上面分析可以看到，在 — 范围内，接收到电子多少是与xd的大小有关；dP2② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为 这表明，电子出现在接收器上)(P的各个位置是具有一定的几率的当足够多的电子被接收后在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波） 是电子出现在 附近的几率密度（如果 ）2)x(Px1dx)(由此可见，尽管电子通过双缝的描述，类似水波那样用一波函数来描述，但本质是不同的它不像水波那样是描述某处的水所带能量的大小，而它仅是刻划粒子在空间的几率分布，即 是描述一个电子的几率振幅。

)t,r(Max Born（1926 年）给出了波函数的几率解释玻恩几率解释：如果在 时刻，对以波函数 描述的粒子进行位置测量，测得)t,r(的结果可以是不同的；而在 — 小区域中发现该粒子的几率为rd（由于是几率， ） )t,()t,r(P21rd)t,(P说明两点：① 不是对物理量的波动描述它有意义的是，在于 代表在体, ,2积元 中发现粒子的几率，所以它不代表物理实体，仅是一几率波；rd② 粒子是由波函数 来描述，但波函数并不能告诉你， 时刻测量时，粒)t,x( 0t子在什么位置粒子位置可能在 ，可能在 ，而在 — 中1,x211dx发现粒子的几率为 也就是说 在某 处越大，则201d, 2)(在 时刻测量发现粒子在该处的机会越多 （这表明，我们讲的是预言到什0t么，但我们不能说出测量的结果） 我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于 ，只测1x得一个值但可想像有很多很多同样的体系，对体系同时进行完全相同的测量，测得的结果发现次 —1nxd1次 —22次 —ii当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发现粒子在 — 处的几率为ixdx)t,(n2iji我们将会看到，体系的波函数 给出了体系所有信息（可能范围） ，它给出体,r系一个完全的描述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值（即几率不等于 ）和测得该能量值的几率；等等） 。

正因为如此，我们可以说波函数描述了体05系所处的量子状态，或称状态以 描述体系，就称体系处于态 ，或称)t,r()t,r(为体系的态函数)t,r(§2.3 波函数的性质，态叠加原理既然体系状态的波函数 给出了体系所有可能得到的信息，那么它有什么共同)t,r(性质呢？（1）波函数的性质A. 归一化条件：为 时刻，发现粒子在 — 中的几率但测量时，总是要发dr)t,(2trd现粒子的所以，在整个空间中，发现粒子的几率之和应为 因此，一个真正的1实在的波函数，应该有1)t,(2若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化应该注意，只有当波函数归一化后，才能说 是几率否则在 区rd)t,(2rd域中，发现粒子的几率为'rd)t,'(2若 A则归一化的波函数为（可差一相因子 ， 为实数）)t,r(1)t,(ie这时 才代表在 区域中发现粒子的几率rd,2d例： tia2re)t,( dre2tiarti420r38所以，归一化的波函数为 tia2r13e)8()t,r而在 — 中的几率为0d dsinea8drsin)t,r(d320202 0r32006在 — 中的几率为0d  drea81dsinrsin)t,r( 230202si20在 — 中的几率为0d dsinrea8sinr)t,r(d 2320d21当然，也可计算 —。