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单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列必定收敛 证 证 不妨设数列{xn}单调增加且有上界， 根据确界存在定理， 由 {xn}构成的数集必有上确界β，β满足： (1) + ∈∀Nn: β≤ n x； (2) ∀ε 0，∃ xn 0 :xn 0 εβ− 取 0 Nn=, ∀nN： βεβ≤≤时，bn+1 2 15 + p时，数列{} n a收敛；当10≤p) 证证 数列{} n a单调增加，它的收敛与否取决于其是否有界 当1p时，记 1 2 1p− = r,则10+=, 1 5 1 6 1 7 1 8 4 8 1 2 pppp +++=， …… 1 21 1 22 1 2 2 2 1 2 11 ()()() kpkpkp k k + + + ++= ++ ?， 因而 ≥ n a21 2 + n 这说明当1≤p时， 数列｛a n 2 ｝是正无穷大量由于数列{an}单调 增加，所以{an}是正无穷大量 特别当p=1时， n an 1 3 1 2 1 1++++=?（?, 3 , 2 , 1=n），{an}是无穷 大量 例2.4.8例2.4.8 记 bn=1 1 2 1 3 1 ++++−? n nln，则数列{bn}收敛。

证证 由例2.4.6，可知 n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1n 例2.4.9例2.4.9 lim n→∞ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + + +nnn2 1 2 1 1 1 ?2ln 解 解 记cn= nnn2 1 2 1 1 1 ++ + + + ?，则有 cn=b n2 -bn+ln()2n-lnn=b n2 -bn+ln2 由 lim n→∞ bn=lim n→∞ 2n bγ=， 即得到 lim n→∞ cn=lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + + +nnn2 1 2 1 1 1 ?=ln2 例2.4.10 例2.4.10 lim n→∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− + n n 1 ) 1( 3 1 2 1 1 1 ?ln2 解解 记dn=1 1 2 1 3 1 1 1 −+−+ − + ?() n n ，由于 bn=1 1 2 1 3 1 1 1 ++++ − +−? nn nln→ γ（n→ ∞）， 和 b n2 =1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 22 1 21 1 2 2+++++++ − + − +−? nnn nln→ γ（n→ ∞）， 例2.4.10 例2.4.10 lim n→∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− + n n 1 ) 1( 3 1 2 1 1 1 ?ln2。

解解 记dn=1 1 2 1 3 1 1 1 −+−+ − + ?() n n ，由于 bn=1 1 2 1 3 1 1 1 ++++ − +−? nn nln→ γ（n→ ∞）， 和 b n2 =1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 22 1 21 1 2 2+++++++ − + − +−? nnn nln→ γ（n→ ∞）， 考虑b n2 -bn，用 n b2中的第k2项与 n b中的第 k项（nk,, 2 , 1?=）对应相 减，得到 b n2 -bn=1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 2−+−++ − −−? nn ln=−d n2 2ln→0 （n→ ∞） 由于dd n nn212 1 21 + =− + 及 lim n→∞ 0 12 1 = +n ，即可得到 lim n→∞ dn=lim n→∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− + n n 1 ) 1( 3 1 2 1 1 1 ?ln2 闭区间套定理 定义2.4.1 闭区间套定理 定义2.4.1 如果一列闭区间{[an,bn]}满足条件 (1) [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn], n =12 3, , ,?; (2) lim n→∞ (bn-an)0=， 则称这列闭区间形成一个闭区间套闭区间套。

定理2.4.2(闭区间套定理)定理2.4.2(闭区间套定理) 如果{[an,bn]}形成一个闭区间套， 则存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an,bn]，且ξ=lim n→∞ an =lim n→∞ bn 闭区间套定理 定义2.4.1 闭区间套定理 定义2.4.1 如果一列闭区间{[an,bn]}满足条件 (1) [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn], n =12 3, , ,?; (2) lim n→∞ (bn-an)0=， 则称这列闭区间形成一个闭区间套闭区间套 证 证 由条件(1)可得 a1≤…≤ an−1≤ an∀： ｜xn− a｜时，有 k nkN≥，因而成立 ｜xn k − a｜； …… 在选取xn k ∈[ak,bk]后，因为在[ak+1,bk+1]中仍含有{xn}中无穷 多项，可以选取位于xn k 后的某一项，记它为xn k +1 ，nk+1nk； 继续这样做下去，就得到了数列{xn}的一个子列{xn k }，满足 ak≤xn k ≤bk，k =12 3, , ,? 由lim k→∞ ak=lim k→∞ bk=ξ，利用极限的夹逼性，得到 lim k→∞ k n xξ=。

证毕 当数列无界时，也有与定理2.4.5相对应的结论 定理2.4.6定理2.4.6 若{xn}是一个无界数列，则存在子列{xn k }，使得 lim k→∞ xn k = ∞ 证 证 由于{xn}无界，因此对任意M0，{xn}中必存在无穷多个 xn，满足｜xn｜M (否则可以得出{xn}有界的结论) 令1 1 =M, 则存在xn 1 ，使得 1 1 n x； 令2 2 =M, 因为在{xn}中有无穷多项满足2 n x，可以取到位于 xn 1 之后的xn 2 ，n2n1，使得 2 2 n x； 令3 3 =M, 同理可以取到xn 3 ， 32 nn，使得 3 3 n x； …… 这样便得到｛xn｝的一个子列{xn k }，满足 k n xk，由定义， lim k→∞ xn k = ∞ 证毕 定义2.4.3定义2.4.3 如果数列｛xn｝具有以下特性：对于任意给定的 0ε，存在正整数N，使得当Nmn,时成立 ｜− n xxm｜＜ε， 则称数列{xn}是一个基本数列基本数列 例2.4.12例2.4.12 设 xn =1 1 2 1 3 1 222 ++++? n ，则{xn}是一个基本数列。

证 证 对任意正整数n与m，不妨设mn，则 − m xxn = 1 1 1 2 1 222 ()()nnm+ + + ++? ＜ 1 1 1 12 1 1n nnnmm()()()()+ + ++ ++ − ? = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − mmnnnn 1 1 1 2 1 1 1 1 11 ? = 11 nm −＜ 1 n ， 对任意给定的ε 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N，当mnN时，成立 ｜− m xxn｜＜ε 例2.4.13例2.4.13 设xn= 1 1 2 1 3 1 ++++? n ，则{xn}不是基本数列 证证 对任意正整数n,有 − n x2xn = 1 1 1 2 1 2nnn+ + + ++? ＞ n n ⋅= 1 2 1 2 ， 取ε0 1 2 =，无论N多么大，总存在正整数nN，mnN=2，使得 ｜− m xxn｜=｜− n x2xn｜＞ε0， 因此｛xn｝不是基本数列 定理2.4.7(Cauchy收敛原理)定理2.4.7(Cauchy收敛原理) 数列{xn}收敛的充分必要条 件是：｛xn｝是基本数列。

证证 必要性 设{xn}收敛于a，按照定义，∀ ε 0，∃ N，∀n mN,: 2 n xa ε −n mN,： ｜− n xxm｜ 2 ε N，并且令k → ∞，于是得到 ｜− n xξ｜≤ε ε 2 ， 此即表明数列｛xn｝收敛 证毕 Cauchy收敛原理表明由实数构成的基本数列{xn}必存在实数极 限，这一性质称为实数系的完备性实数系的完备性 注意有理数集不具有完备性例如 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 1是由有理数构成的 基本数列，其极限e并不是有理数 例2.4.14例2.4.14 设数列{xn}满足压缩性条件：压缩性条件： ｜− +1n xxn｜≤k｜− n xxn−1｜， 10k, n=2 3 , ,?， 则｛xn｝收敛 证证 只要证明｛xn｝是基本数列即可 首先对于一切n，有 ｜− +1n xxn｜≤k｜− n xxn−1｜≤k 2 ｜− −1n xxn−2｜≤…≤k n−1｜ − 2 xx1｜ 设m＞n，则 ｜− m xxn｜≤｜− m xxm−1｜+｜− −1m xxm−2｜+ … +｜− +1n xxn｜ ≤ k m−2 ｜− 2 xx1｜+k m−3 ｜− 2 xx1｜+ … +k n−1| − 2 xx1｜ k k n − ，则 00 mnnn aaba≤−−→ (∞→n）， 所以数列｛an｝是一基本数列，从而有 lim n→∞ an =ξ， 并由此得到 lim n→∞bn =lim n→∞ (− n ban)+lim n→∞ an=ξ。

由于数列{an}单调增加，数列｛bn｝单调减少，可以知道ξ是属于所 有闭区间［ n a,bn］的唯一实数闭区间套定理得证 闭区间套定理 ⇒ 确界存在定理： 设S是非空有上界的实数集合，又设T是由S的所有上界所组成 的集合，现证T含有最小数，即S有上确界 取a1T∈，b1∈T，显然 1 ab1现按下述规则构造一列闭区间： [a2,b2]= ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡+ ∈ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡+ ; 2 ,, 2 , 2 , 2 , 11 1 11 1111 1 T ba b ba T baba a 若 若 [a3,b3]= ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡+ ∈ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡+ ; 2 ,, 2 , 2 , 2 , 22 2 22 2222 2 T ba b ba T baba a 若 若 ……. 由此得到一个闭区间套｛［an,bn］｝，满足 an T∈ ， bn∈T， n =12 3, , ,? 由闭区间套定理，存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间 n a[,] n b，且 ∞→n lim n a= ∞→n lim n b=ξ。

现只需说明ξ是集合T的最小数，也就是集合S的上确 界 若Tξ∈,即ξ不是集合S的上界，则存在xS∈，使得xξ由 ∞→n lim n bξ=，可知当n充分大时，成立 n bx，这就与 n bT∈发生矛盾，所 以Tξ∈ 若存在ηT∈，使得ηξ, 则由lim n n aξ →∞ =,可知当n充分大时，成立 n aη由于 n aT∈,于是存在yS∈,使得 n ayη,这就与Tη∈发生矛 盾从而得出ξ是集合S的最小上界 证毕 上述五个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推 断出其它的定理，所以，这五个定理中的每一个都可以称为是实数 系的基本定理。