数列极限复习题6页.doc

《数学分析（1，2，3）》复习题第二章 　极限与连续１　数列的极限与无穷大量一 数列极限的定义１ 写出数列的定义 ２ 举几个数列的例子（1） （2） （3）2、什么是数列极限１．简述为什么学习数列的极限 2.数列极限的定义写出数列极限定义 表述没有极限 ３用定义来验证数列极限　(1) 　证明. (2) 　证明.(3) 证明　.(4) 证明　.(5) 证明　，其中.４ 叙述关于数列的极限的定义的几点注意事项(1) 关于： (2) 关于Ｎ： (3) 数列极限的几何理解： (4) 给出数列极限的等价定义（邻域定义）： (5) 证明都是发散数列.二 无穷小数列给出无穷小数列的定义 证明　数列收敛于的充要条件是为无穷小数列三 证明　收敛数列的性质性质1（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则性质2（保号性）　若（或），则对任何（或），存在正数Ｎ，使得当时有（或）性质3（极限唯一性）　若数列收敛，则它只有一个极限性质4（迫敛性）　设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.求：　求数列的极限。

性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列注：数列收敛则必有界，反之未必试举一例四 证明数列极限的运算法则性质６（极限的四则运算法则）　若、为收敛数列，则也都收敛，且有;.若再做假设及，则数列也收敛，且有.使用极限的四则运算法则:(1)　求，其中.(2)　求五 单调有界数列在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）这是极限理论的两基本问题下面将重点讨论极限的存在性问题定义　若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列递增和递减数列统称为单调数列．例如：为递减数列；为递增数列定理（单调有界定理）　在实数系中，有界且单调数列必有极限1) 设其中，证明数列收敛2) 证明下列数列收敛，并求其极限：(3) 证明存在六 无穷大量的定义1.无穷大量的定义定义：2.无穷大量的定义几何解释：3. 证明是无穷大量4.给出正无穷大量和负无穷大量的定义七 无穷大量的性质和运算1、 无穷大量和无穷小量的关系证明：为无穷大量，当且仅当，为无穷小量，这里要求有意义2、 无穷大量的一些运算法则(1) 证明：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量。

无穷大量加上有界数列仍是无穷大量2)证明：设为无穷大量，收敛于，则是无穷大量。