考研数学(一)历年真题.pdf

1 990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满 分15分.把答案填在题中横线上)，x=-t +2(1)过点A/(l,2-l)且与直线 y =3,一4垂宜的平面方程是.、z =/-1X+Q(2)设a为非零常数，则l im(-)=.I00 x-af l|乂 V 1(3)设函数/(x)=，则/)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.0 x 1(4)积 分j d x d y的值等于.(5)已知向量组叫=(l,2,3,4),a 2 =(2,3,4,5),a?=(3,4,5,6),=(4,5,6,7),则该向量组的秩是.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满 分1 5分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设/(x)是连续函数，且F(x)=/力，则F(x)等于(A)-e-J f(Q-x(B)-e-x/(e-t)+/(x)(c)e-x/(e-A)-/(x)(D)e-f(ex)+f(x)已知函数/(x)具有任意阶导数，且f(x)=(x)2,则当n为大于2的正整数时，/(x)的n阶导数是(A)!(x)产 (B)(x)r(D)!(X)产(3)设a为常数，则级数y Sin a)一一1 j=i n-y j n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知/(%)在x =0的某个邻域内连续，且/(0)=0,l im =2,则在点x =0处/(%)x-o 1 -c o s x(A)不可导(B)可导，且/(0)片0（C）取得极大值（D）取得极小值（5）已知乩、隹 是非齐次线性方程组A X =b的两个不同的解，叫、a2是对应其次线性方程组A X =O的基础解析,k、k2为任意常数,则方程组A X =b的通解（一般解）必是（A）k（tl+攵2（%+a2）+占%+%2（叫 一.2）+生一；（C）占%+攵2（P+02）+（D）%。

女2（1 _ 也）+/三、（本题共3小题,每小题5分，满分15分）,ln（l+x）.求-i r d x,上（2-幻2尸2 设z=f（2 x-y,y sin x）,其中/（w,v）具有连续的二阶偏导数，求三-.d xd y（3）求微分方程）+4/+4y=e-2 x的通解（一般解）.四、（本题满分6分）00求某级数Z（2/7+l）x”的收敛域，并求其和函数.=0五、（本题满分8分）求曲面积分/=JJ y z d z d x+2d xd ys其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z 0的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数/0）在闭区间 a,b上连续，在开区间（a/）内可导，且/（a）=/（/?）.证明在（凡匕）内至少存在 点使得/C）0.七、（本题满分6分）设四阶矩阵1-10 02 13 40 1-100 2 13=,c=0 0 1-10 0 2 1_ 0 0 0 10 0 0 2且矩阵A满足关系式A(E-CTB)C=E其中E为四阶单位矩阵，C”表示C的逆矩阵，C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、(本题满分8 分)求一个正交变换化二次型f =x；+4 x；+4 x；-4X,X2+4X,X3-8 X 2 X 3成标准型.九、(本题满分8 分)质点尸沿着以A8为直径的半圆周，从点A(l,2)运动到点5(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点7T。

之间的距离，其方向垂直于线段尸 且与y轴正向的夹角小于万.求变力户对质点P所作的功.十、填空题(本题共3 小题,每小题2 分，满分6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数.1.1 x 1/(X)=e H,-o o x+o o则X的概率分布函数F(x)=.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若8 表示B的对立事件，那么积事件A B的概率尸(A B)=.(3)已 知 离 散 型 随 机 变 量X 服 从 参 数 为2的 泊 松(Po i sso n)分 布，即2k e2P X =k =-，4=0,1,2,，则随机变量Z=3 X 2的数学期望E(Z)=.k!十一、(本题满分6 分)设二维随机变量(X,丫)在区域D:0 x l,|y|0时，(1 +ax?1 与co s X 1 是等价无穷小，则常数C L =.2 0 0-1 0 0 ,则A 的逆阵AT=.0 1-20 1 152 设 4 阶方阵A00二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)1+e”(1)曲线=-rl-e-x(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线若连续函数f(x)满足关系式/(x)=f f(-)d t+I n 2,则/(x)等于力 2(A)e1 In 2 (B)e2 ln 2(C)ex+ln 2 (D)e2 v+ln 200 00 00已知级数Z(1)-,=2,工 2“-1 =5,则 级 数 等 于”=1 n=l n=(A)3(C)8(B)7(D)9设。

是平面x o y 上以(1,1)、(-1,1)和(一1,一1)为顶点的三角形区域，A是在 第 象限的部分，则+co s x s i n y)d xd y 等于D(A)2 jjco s x s i n y c lxd yD(C)4 jj(xy+co s x s i n y)d xd y9(B)2 xy d xd yA(D)0设阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是阶单位阵，则必有(A)ACB=E(C)BAC=E(B)C B A=E(D)BCA=E三、(本题共3 小题,每小题5 分，满分15分)_ 兀求 li m(co s V%)2.x70+设 万 是 曲 面2 x 2 +3/+Z?=6在点P(l,l,l)处 的 指 向 外 侧 的 法 向 量，求函数J 6x2+8 y2 u =.-在点P处沿方向n的方向导数.z+：/+z)d匕其中C 是由曲线cy=2 z绕 轴旋转一周而成的曲面与平面1=4x =0所围城的立体.四、(本题满分6 分)过点0,0)和A(,0)的曲线族y=a s i n x(a 0)中，求一条曲线L,使沿该曲线从到A的积分(1 +y)dv +(2 x +y)d y 的值最小.五、(本题满分8 分)8 1将函数/(x)=2 +|x|(1 W x 4 1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数ZT的和.n=l 六、(本题满分7 分)设函数/(X)在 0,1 上连续，(0,1)内可导，且3 (f(x)d x=/(0),证明在(0,1)内存在一点C,使3/()=0.七、(本题满分8 分)已 知 a,=(1,0,2,3),2 =(l,l,3,5),a3=(l,-l,a +2,l),a4=(1,2,4,6(+8)及p=(1,1,6+3,5).（D t Z、b为何值时，6不能表示成四，（1 2，（1 3，&4的线性组合？（2）a、b为何值时，0有a 1,a 2，a 3,o t 4的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是阶正定阵，E是阶单位阵，证明A +E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求条向上凹的曲线，其上任一点P（x,y）处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ尺度的倒数（Q是法线与x轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与x轴平行.十、填空题（本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上）若 随 机 变 量X服 从 均 值 为2、方 差 为 的 正 态 分 布，且P 2 X 4 =0.3,则P X 0=.（2）随机地向半圆0 y 0,y 00 I其它求随机变量Z =X +2 Y的分布函数.1 9 9 2 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5 小题,每小题3 分，满分15分.把答案填在题中横线上)d y 设函数y =y(x)由方程e +c o s(孙)=0 确定，则一=.d x(2)函数=l n(x2+V+z?)在点 M(1,2,-2)处的梯度 g r a d uM=.”、-x 0 _ 设/(%)=4，则其以24为周期的傅里叶级数在点x =处收敛于l +X 0 X 0)“=i n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线x =f,y =产，z =r的所有切线中，与平面x +2y +z =4 平行的切线(A)只有1条(B)只有2 条(C)至少有3 条(D)不存在(4)设/(X)=3丁+V W，则使/S)(o)存在的最高阶数”为(A)o(C)2(B)l(D)3n0、要使&=0=1都是线性方程组A X =O的解,只要系数矩阵A为(A)-2 1 2-1 0 20 1 -1(D)(B)20-101101-14-2-2011三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)一.eA-s in x-l求h m-/1。

设Z =f(e s in y,x2+y2),其中f具有二阶连续偏导数，求刑d xd y(3)设/(x)l +x2 x 0，求 f f(x-2)d x.四、(本题满分6分)求微分方程y +2 yr-3 y =e-3x的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分 j j(x3+a z2)d y d z+(y3+a x2)d z d x+(z3+a y2)d xd y,其中 Z 为上半球面z =y a2-x2-y2 的上侧.六、(本题满分7分)设/0)0,/(0)=0,证明对任何玉0,20,有/(x(+x2)/(%,)+/(x2).七、(本题满分8分)2 2 2一 一 一 一 X V 7.在变力F =y z i +z x j+x y k的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面一+0=1上第a b c一卦限的点M(,，4),问当4、:取何值时，力尸所做的功卬最大?并求出印的最大值.八、（本题满分7分）设 向 量 组 线 性 相 关,向 量 组&2，（3,014线性无关，问:（1）%能否由a 2.线性表出?证明你的结论.o（4能否由），a2,a3线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为4 =1,4=2,4=3,对应的特征向量依次为将6用&G G线性表出（2）求A 0（为自然数）.十、填空题（本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上）（1）己知尸（A）=P（B）=尸（0 =,2（4 8）=0,尸（40=2（5。

则事件4、B、C全4 6不发生的概率为.（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E X +e 0)的单调减少区间为(2)由曲线3*+2;/=1 2绕丁轴旋转一周得到的旋转面在点(0,区 金)1=0处的指向外侧的单位(3)设 函 数 /(X)Tt X+X1(-7t X +孙=儿 满 足 初 始 条 件），|曰=1的特解.四、（本题满分6分）计算 J J xz d y d z +y z d z d x-z2d xd y,其中E 是由曲面2=J-+y?与 z=2-x2-y2 所围立体的表面外侧.五、（本题满分7分）6（1）（2一+1）求级数z L n-L的和,1=0 2六、（本题共2小题,每小题5分，满分10分）设在 0,+8）上函数/（X）有连续导数，且/（X）0,/（0）a e,证明 a ba.七、（本题满分8分）已 知 二 次 型/(x,x2,x3)=2 x；+3%2 +3后+2a x2x3(a 0)通过正交变换化成标准形f =y：+2 y；+5 y；,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、(本题满分6 分)设A是 x机 矩阵，B是机x ”矩阵，其中 6,I是阶单位矩阵，若A B =I,证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分6 分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2%方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.十、填空题(本题共2 小题,每小。