天津市高考数学试卷理科答案与解析.pdf

2014 年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8 小题，每小题5 分） 1（ 5 分） （2014 天津） i 是虚数单位，复数=（） A1iB 1+iC +i D +i 考 点： 复数代数形式的乘除运算 专 题： 数系的扩充和复数 分 析： 将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i ，即求出值 解 答： 解：复数=， 故选 A 点 评： 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题 2（ 5 分） （2014 天津）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的 最小值为（） A2B3C4D5 考 点： 简单线性规划 专 题： 不等式的解法及应用 分 析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值 解 答： 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y=， 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点 B （1，1）时，直线y= 的截距最小，此时z 最小 此时 z 的最小值为z=1+21=3， 故选： B 点 评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 3（ 5 分） （2014 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（） A15B105C245D945 考 点： 程序框图 专 题： 算法和程序框图 分 析： 算法的功能是求S=1 35（2i+1 ）的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计 算输出 S的值 解 答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1 35（2i+1 ）的值， 跳出循环的i 值为 4， 输出 S=1 357=105 故选： B 点 评： 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本 题的关键 4（ 5 分） （2014 天津）函数f（x）=log（x 24）的单调递增区间为（ ） A（0，+）B（ ， 0）C（2，+）D（， 2） 考 点： 复合函数的单调性 专 题： 函数的性质及应用 分 析： 令 t=x 240，求得函数 f （x）的定义域为（，2）（ 2，+），且函数f （ x）=g（ t ）=logt 根据复合函数的单调性，本题即求函数t 在（， 2） （ 2，+）上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t 在（， 2） （ 2，+）上的减区间 解 答： 解：令 t=x 240，可得 x 2，或 x 2， 故函数 f （x）的定义域为（，2）（ 2，+）， 当 x（， 2）时， t 随 x 的增大而减小，y=logt 随 t 的减小而增大， 所以 y=log（ x 24）随 x 的增大而增大，即 f（ x）在（，2）上单调递增 故选： D 点 评： 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于 中档题 5（5 分） （2014 天津）已知双曲线=1 （a0，b 0）的一条渐近线平行于直线l ： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（） A =1 B =1 C =1 D =1 考 点： 双曲线的标准方程 专 题： 圆锥曲线的定义、性质与方程 分 析： 先求出焦点坐标，利用双曲线=1 （ a0，b0） 的一条渐近线平行于直线l ： y=2x+10，可得=2，结合 c 2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程 解 答： 解：双曲线的一个焦点在直线l 上， 令 y=0，可得 x= 5，即焦点坐标为（5，0）， c=5， 双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10， =2， c 2=a2+b2， a 2=5，b2=20， 双曲线的方程为=1 故选： A 点 评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题 6（ 5 分） （2014 天津）如图， ABC 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点D，交 BC于 E，过点 B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： BD平分 CBF ； FB 2=FDFA ； AECE=BEDE； AFBD=ABBF 所有正确结论的序号是（） AB CD 考 点： 与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用 专 题： 直线与圆 分 析： 本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成 比例，即可选出本题的选项 解解：圆周角 DBC 对应劣弧 CD ，圆周角 DAC对应劣弧CD ， 答：DBC= DAC 弦切角 FBD 对应劣弧 BD ，圆周角 BAD 对应劣弧 BD ， FBD= BAF AD是BAC的平分线， BAF= DAC DBC= FBD 即BD平分 CBF 即结论正确 又由 FBD= FAB ，BFD= AFB ，得 FBD FAB 由， FB 2=FDFA 即结论成立 由，得 AFBD=ABBF 即结论成立 正确结论有 故答案为D 点 评： 本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难 度不大，属于基础题 7（ 5 分） （2014 天津）设 a，bR，则“ ab”是“ a|a| b|b| ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 考 点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专 题： 简易逻辑 分 析： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 解 答： 解：若 ab， ab0，不等式a|a| b|b| 等价为 aabb，此时成立 0 ab，不等式a|a| b|b| 等价为 aa bb，即 a 2b2，此时成立 a0 b，不等式a|a| b|b| 等价为 aa bb，即 a 2 b2，此时成立，即充分性 成立 若 a|a| b|b| ， 当 a0， b0 时， a|a| b|b| 去掉绝对值得， （ab） （a+b）0，因为 a+b0， 所以 ab 0，即 ab 当 a0， b0 时， ab 当 a0， b0 时， a|a| b|b| 去掉绝对值得， （ab） （a+b）0，因为 a+b0， 所以 ab 0，即 ab即必要性成立， 综上“ ab”是“ a|a| b|b| ”的充要条件， 故选： C 点 评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决 本题的关键 8（ 5 分） （2014 天津）已知菱形ABCD 的边长为2，BAD=120 ，点E、 F分别在边BC 、 DC上，=，=，若=1，=，则 +=（） ABCD 考 点： 平面向量数量积的运算 专 题： 平面向量及应用 分 析： 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由 =1，求得 4+42=3 ；再由=，求得 += 结合求得+ 的值 解 答： 解：由题意可得若=（+） （+）=+ =22cos120+= 2+4+4+ 22cos120 =4+42 2=1， 4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1） =（1） （1） 22cos120=（1 +）（ 2）=， 即 += 由求得+=， 故答案为： 点 评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定 义，属于中档题 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 9（5 分） （ 2014 天津） 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用 分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知 该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本 科生中抽取60 名学生 考 点： 分层抽样方法 专 题： 概率与统计 分 析： 先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即 为所求 解 答： 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为= ， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300=60， 故答案为： 60 点 评： 本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中 对应各层的样本数之比，属于基础题 10（ 5 分） （2014 天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3 考 点： 由三视图求面积、体积 专 题： 立体几何 分 析： 几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱 的体积公式计算 解解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 答：其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4， 几何体的体积V=1 24+ 2 22=4+ = 故答案为： 点 评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是解题的关键 11（ 5分） （2014 天津） 设an是首项为a1，公差为 1 的等差数列， Sn为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 考 点： 等比数列的性质 专 题： 等差数列与等比数列 分 析：由条件求得，Sn=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1S4，由此求得a1的值 解 答： 解：由题意可得，an=a1+（n1） （ 1） =a1+1n， Sn=， 再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1S4，即=a1（ 4a16） ， 解得 a 1= ， 故答案为： 点 评： 本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题 12（ 5 分） （2014 天津）在 ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 b c=a，2sinB=3sinC ，则 cosA 的值为 考 点： 余弦定理；正弦定理 专 题： 解三角形 分 析：由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的 值 解 答： 解：在 ABC 中， b c=a ， 2sinB=3sinC ， 2b=3c ， 由可得a=2c，b= 再由余弦定理可得 cosA=， 故答案为： 点 评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题 13（ 5 分） （2014 天津）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin 和直线 sin =a 相 交于 A、 B两点，若 AOB 是等边三角形，则a 的值为3 考 点： 简单曲线的极坐标方程 专 题： 坐标系和参数方程 分 析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x 2+（y2）2=4，可得 a 的值 解 答： 解：直线sin =a 即 y=a，（ a0），曲线 =4sin ， 即 2=4sin ，即 x 2+（y2）2=4，表示以 C（0，2）为圆心，以2 为半径的圆， AOB是等边三角形， B（a，a）， 代入 x 2+（y2）2=4，可得（ a） 2+（a2）2=4， a 0，a=3 故答案为： 3 点 评： 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐 标是解题的关键，属于基础题 14（ 5 分） （2014 天津）已知函数f （x）=|x 2+3x| ，xR，若方程 f （x） a|x 1|=0 恰 有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）（ 9，+） 考 点： 根的存在性及根的个数判断 专 题： 函数的性质及应用 分 析： 由 y=f （x） a|x 1|=0 得 f （x）=a|x 1| ，作出函数y=f （x）， y=a|x 1| 的图象 利用数形结合即可得到结论 解 答： 解：由 y=f （x） a|x 1|=0 得 f （x）=a|x 1| ， 作出函数y=f （x）， y=g（x）=a|x 1| 的图象， 当 a0，不满足条件， 则 a0，此时 g（ x）=a|x 1|=， 当 3x0 时， f （x）= x 23x，g（x）=a（x1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时 x 23x=a（ x1）， 即 x 2+（ 3a）x+a=0， 则由 =（ 3a） 2 4a=0，即 a210a+9=0，解得 a=1 或 。