近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2.doc

近世代数课后习题参照答案第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于一般减法来说是不是一种群?证 不是一种群,由于不适合结合律. 2. 举一种有两个元的群的例子. 证 对于一般乘法来说是一种群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 来作群的定义: . 至少存在一种右单位元,能让 对于的任何元都成立 . 对于的每一种元,在里至少存在一种右逆元能让 证 (1) 一种右逆元一定是一种左逆元,意思是由 得 由于由有元能使 因此 即 (2) 一种右恒等元一定也是一种左恒等元,意即 由 得 即 这样就得到群的第二定义. (3) 证 可解 取 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群的每一种元都适合方程,那么就是互换群.证 由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.2. 在一种有限群里阶不小于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证的阶是则的阶也是.若有 使 即 因而 这与的阶是矛盾.的阶等于的阶(2) 的阶不小于, 则 若 这与的阶不小于矛盾(3) 则 总起来可知阶不小于的元与双双浮现,因此有限群里阶不小于的元的个数一定是偶数3. 假定是个数一种阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群里的元不小于的个数是偶数;因此阶的元的个数仍是偶数,但阶是的元只有单位元,因此阶的元的个数一定是奇数.4. 一种有限群的每一种元的阶都是有限的.证 故 由于是有限群,因此这些元中至少有两个元相等: 故 是整数,因而的阶不超过它.4 群的同态 假定在两个群和的一种同态映射之下,，和的阶是不是一定相似? 证 不一定相似 例如 对一般乘法都作成群,且(这里是的任意元,是的元)由 可知 ∽但 的阶都是.而的阶是.5 变换群1. 假定是集合的一种非一一变换,会不会有一种左逆元,使得?证 我们的回答是回有的: 1→1 1→12→1 2→3 3→2 3→44→3 4→5… …显然是一种非一一变换但 2. 假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一种变换群.这个群是不是一种互换群? 证 (1) 是有理数 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 则 (4) 而 因此构成变换群.又 : 故因而不是互换群. 3. 假定是一种集合的所有变换作成的集合,我们临时仍用旧符号: 来阐明一种变换.证明,我们可以用: 来规定一种的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元. 证 那么 显然也是的一种变换. 目前证这个乘法适合结合律: 故 再证还是的单位元 4． 证明一种变换群的单位元一定是恒等变换。

证 设是是变换群的单位元 ，是变换群，故是一一变换，因此对集合 的任意元，有的元， = 另证 根据习题知 5. 证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来说，作成一种群证 ={实数域上一切有逆的矩阵} 则是的逆从而 对矩阵乘法来说，固然适合结合律且（阶的单位阵） 是的单位元故 作成群 6 置换群 1. 找出所有的不能和互换的元. 证 不能和互换的元有 这是难验证的.2. 把的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解: 的所有元用不相连的循环置换写出来是:(1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明: (1) 两个不相连的循环置换可以互换 (2) 证(1) = =( 又 )= =,故 (2) ,故.3. 证明一种K一循环置换的阶是K.证 设 ………… 设, 那么　５． 证明的每一种元都可以写成这个２－循环置换中的若干个乘积。

　　　证　根据定理２的每一种元都可以写成若干不相干循环置换的乘积　　 而我们又能证明　　 　　　同步有, 这样就得到所要证明的结论则 7 循环群1． 证明 一种循环群一定是互换群证 ，则2． 假设群的元的阶是，证明的阶是这里是和的最大公因子证 由于 因此而 3.假设生成一种阶是的循环群 证明也生成，如果(这就是说和互素) 证 生成一种阶是的循环群，可得生成元的阶是，这样运用上题即得所证，或者，由于有 即 故4 假定是循环群，并且与同态，证明也是循环群证 有2定理1知也是群，设 且(是同态满射) 则存在使 因而∽故 即 因而 即Ã=（ã） 5．假设是无限阶的循环群，是任何循环群，证明与同态 证 ⅰ）设是无限阶的循环群， 令且因此∽ⅱ）设而的阶是令： 当且只当,易 知是到的一种满射 设则那么 ∽8 子群1．找出S3的所有子群 证S3={}的子群一定涉及单位元 ⅰ）S3自身及只有单位元都是子群 ⅱ）涉及和一种2一循环的集合一定是子群因={}， ={}， ={}亦为三个子群ⅲ）涉及及两个3—循环置换的集合是一种子群， ={}是子群，有以上6个子群，今证只有这6个子群，ⅳ）涉及及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因不属于此集合ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一种浮现一定不是子群因ⅵ)一种集合若浮现两个3—循环置换及一种2—循环置换不是子群 因ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个浮现的集合不是子群 因若浮现 则故有且只有6个子群。

2.证明；群的两个子群的交集也是的子群证是的两个子群，显然非空 则 同步因是子群，故，同步因此故是的子群 3．取的子集，生成的子群涉及哪些个元？一种群的两个不同的子集不会生成相似的子群？证 从而 群的两个不同的子集会生成相似的子群生成的子群为{} 生成的子群为{} 4．证明，循环群的子群也是循环群证 =（）是循环群，是的子群设，而时任意 则 因而 因，因此是循环群. 5. 找出模12的剩余类加群的所有子群证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.={}(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)即(ⅳ) 即(ⅴ) 即(ⅵ) ([6]) 即有且只有以上6个 子群. 6.假定是群的一种非空子集,并且的每一种元的阶均有限,证明,作成子群的充要条件:推出 证 必要性 显然充足性推出,(*)因此只证推出即可. ,的阶有限 设为 即 因此由(*) 可知,因而这样作成的子群.9 子群的陪群1. 证明阶是素数的群一定是循环群证：设群的阶是素数,则可找到而, 则的阶,根据定理3知, 但是素数,故,那么是的个不同元,因此恰是的不同元,故.2. 证明阶是的群(是素数)一定涉及一种阶是的子群.证：设阶是的群为, 是正整数, 可取, 而,根据定理3, 的阶是而, 进一步可得的阶为.是阶为的的子群.3. 假定和是一种群的两个元,并且,又假定的阶是，的阶是并且.证明:的阶是证 .设则故 故又 因此的阶是.4. 假定~是一种群的元间的一种等价关系,并且对于的任意三个元来说,证明与的单位元等价的元所作成的集合为证 由于~是等价关系,故有即,则因而由题设可得由对称律及推移律得再由题设得即 这就证明了是的一种子群.5. 我们直接下右陪集的定义如下:刚好涉及的可以写成 的每一种元属于并且只属于一种右陪集. 证 任取则这就是说,的每一种元的确属于一种右陪集若则则,因而 故Ha=Hb这就证明了,的每一种元只属于一种右陪集.6. 若我们把同构的群当作是同样的,一共只存在两个阶是的群,它们都是互换群. 证 设是阶为的群.那么的元的阶只能是 1．若有一种元的阶为,则为循环群; 2. 若有一种元的阶为,则除单位元外,其她二元的阶亦均未. 就同构的观点看阶为的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确存在. 循环群 0 1 2 300 1 2 311 2 3 022 3 0 133 0 1 2 非循环群e a b cee a b caa e c bbb c e acc b a e 循环群是互换群，由乘法表看出是互换群10 不变子群、商群1. 假定群的不变子群的阶是,证明,的中心涉及.证 设是不变子群,对于任意有 若 则 ， 矛盾 则 即是中心元.又 是中心元显然.故的中心涉及.2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令 证 ,则是的子群.及，故是不变子群.。