第二型曲线积分.doc

§ 2第二型曲线积分教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式.教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别.(2) 了解两类曲线积分的联系•教学建议：(1)要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式.(2)两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题 教学程序：一. 第二型曲线积分的定义：1. 力场F(x,y)二P(x,y) , Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功：一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C运动,当质点从C之一端点A移动到另一端B 时，求力F(x,y)所做功W.大家知道，如果质点受常力 F的作用沿直线运动，位移为s.那末这个常力所做功为W=||F||||s||cos 二其中l|F||.||s|| 分别表示向量(矢量)的长度，二为F与S的夹角现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲 .怎么办呢？还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法). 为此，我们对有向曲线C作分割T 二{AoA••…,An」，An},即在 AB 内插入n-1个分点Mi,M2,.•…,Mn」,与A=M°,B二Mn —起把曲线分成n个有向小曲线段MiJLM虫=1,2,……,n)以 Si记为小曲线段Mi jM i的弧长.生二max{' Si}设力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)即 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j由于 M i」(Xi 4, yi」).M i (Xi, yi),记 Xi =Xi - x」yi = yi - yi从而力F(x,y)在小曲线段M i 4M i上所作的功Wi ： F( , i) Cmi丄=P( i, j) xi +Q ( i, j)勺ii其中(i, j )为小曲线段MyMi上任一点，于是力F沿C(AB)所作的功可近似n n nWi=' Wi 八(P(Si, i)) Xi ' Q(Si, i) yi 1 i =1 i ■当■ > 0时,右端积分和式的极限就是所求的功，这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限 得W = abF(dx,dy), 即 w = jF ds.2. 稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量：解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场v(x,y)二P(x, y) , Q(x,y).求在单位时间内通过曲线 AB从左侧到 右侧的流量E .通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为ABdE 二 ABP(x，y)dy-Q(x,y)dx.3. 第二型曲线积分的定义： 设P,Q为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线 C上的函数，对任一分割T,它把C分成n个小弧段M ,1=1,2,3, ……,n;记皿心』)，MidM i弧长为.◎，■二 max{ Si}，:人二 Xj - Xj ” y 二 yi」,I=1,2,3, ,n.n n又设(j, j) M j jMj,若极限 lim ' p( i, i). ：xi+lim ' Q( i, i). ：yii 4 i=1存在且与分割T与界点(I, j)的取法无关，则称此极限为函数P,Q有线段C上的第二类曲线积分,记为 Pds Qdy or Pds Qdyc ABor Pdx 亠 i Qdy or Pds 亠 j Qdyc c AB AB注(1)若记 f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式：fdsc⑵倘若C为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P,Q,R为定义在C上的函数，则可按上 述办法定义沿有向曲线C的第二类曲线积分，并记为(fds= J P(x,y,z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y,z)dzc按这一定义，有力场F(x,y)二P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W Pdx Qdy.■AB ‘流速场v(x,y)二P(x,y) , Q(x, y)在单位时间内通过曲线 AB从左侧到右侧的总流量E 为 E = ab Pdy - Qdx.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 •对二型曲线积分有 二-,LAB ;BA因此，定积分是第二型曲线积分中当曲线为 X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场F(x, y, z) h[P(x, y,z) , Q(x, y,z) , R(x,y,z)沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分ABP(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)d z.4. 第二型曲线积分的性质：第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 .与我们以前讨论过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外，其余与以前的积累问题是一样的，还是用Riemma的思想建立的 积分•因此，第二型曲线积分具有(R)积分的共性，如线性、关于函数或积分曲线的可加 性.但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较 大小，另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关(1)线性性 设C为有向曲线,[fds, Jgds存在,贝U= R,则 C(°f + Bf)ds存在,且[©f 十 Bf )ds = a [fds 十 B [gds⑵ 可加性：设fds存在，C二C仁.C2,二 fds, fds 存在,且 fds = j fds 亠 I fds心 C2 c A 七2(1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢？此时无所谓”起点””终点”，若为封闭有向线段， 则记为，fdsc⑵ 设C-是 C的反向曲线(即C■和C方向相反),贝U fds二fdsLc Lc即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数 f与弧长的乘机,它与曲线C的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别•二. 第二型曲线积分的计算：曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出•称参数增大时曲线相应的方向为 自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线，L : x=「(t), y」(t), .A , Bf)「C)；函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连续，则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有LP(x,y)dx Q(x,y)dy「「P (t) (t) : (t) Q ：(t)「(t) ■ (t) dt .(证略) 注：起点参数值作下限，终点参数值作上限.例1计算jxydx + (y-x)dy，其中L分别沿以下路线从点A(“ )到点B(2,3)Li) 直线ABii) 抛物线 acb : ^2 x -1 2 1iii) 三角形周界ADBA 解i ) 直线ab : *X = 1 +t, r i t E 0,1 ])=1 +2t,1故 xydx y -x dy= 11 t 1 2t 2t dt =25AB 0 6ii) 抛物线 ACB : ^2 x -1 2 1，仁 x 乞21Jxydx + (y-x )dy = j^2(x T 丫 +1 2(x T j +1-x 4(x T 如二10ACB 0 3iii) 三角形周界ADBA :Baxydx 亠〔y - x dy = xydx 亠「y - x dy + xydx 亠「y - x dy+ xydx y - x dyADBA AD DB2 3 0=xdx+ y -2 dy+ 1.1 t 1 2t 2tdt=3 0 25 = _8ii i 2 63注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为 0.例2计算.xdy ydx，这里L : i）沿抛物线从o到BLii）沿直线段ob : y = 2x iii）沿圭寸闭曲线OABO 解1i )沿抛物线从 O 到 B : xdy ydx= & 4x 2x2 ldx=20ii)沿直线段o b : y = 2x ,1xdy ydx= 2x 2xdx=2L o注：这里不同路径积分值相同iii）沿封闭曲线OABO :xdy ydx= xdy ydx + xdy ydx+ xdy ydx=° 2 _ 2 ；= 0L OA AB注：由于这里不同路径积分值相同, 空间曲线时有：BO设有空间光滑曲线造成沿封闭曲线的值为 0“叮起点为x ,y 终点为x ： ,y ： ,z ：则有:Pdx Qdy RzyLpv Pxt,yt,zt x t Qxt,yt,zt y t R x t ,y t ,z t z t dt注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限.例3计算第二型曲线积分 .xydx • y dy x2dz， L是螺旋线：x = acost， y = asin t，Lz = bt从t =0至V t =専上的一段2 JT解 xydx x y dy x dz= J a3 costs in21 a2 cos21 -a2 sin tcost a2bcos2t dtL 0_ 1 2= -a2 1 b 二2例4求力F（y,—x,x+y+z ）作用下i）质点由 a沿螺旋线 L1到b所做的功，其中 L1 :x = a cost， y = a si nt， z = bt， 0 _ t _ 2二，"）质点由解 i) W = ydx 一 xdy x y z dzL2 二=a2 sin2t - a2cos2t abcost absint b2t dt0=2二二b2 _a2ii) w= ydx-xdy x y z dzL2 二=a t dt=2「b a ■ b0注：这里不同路径积分值不同.解法解法第二十章习题课1§ 1第一型曲线积分求(xy yz zx)ds，其中L是球面X2 • y2 • z2二a2与平面X y ^0的交线•L1(xy yz zx)ds 2(xy yz zx)dsL 2 L1 2 2 2 2=2 [(x y z) -(x y z )]dsL1-1/ 2 2 2 3 . 3(x y - z )ds ds --二a2 L 2 L求曲线l的参数方程•由x2亠y2亠z2 =a2， x亠y亠z = 0消去y，得 x2 +(x + z)2 + z2 = a2z 2 a 3 2(x ) (1 2 z )a令 z = /asint，则—(1 z2) = ±~^cost -2sint2 (' 2a2 2 6y =-(x+z) = + -^cost --^sint<2 V6于是得到两组参数方程a ax =〒cost -〒sin t\ 2 v 6y = -- cost -莘 si nt *at2 %6z = J—asi n t勺3a ax ： ——cost ——sin tV2 J6y = -^cost - - sin tV2 <6z = j—asin tV3我们可任选一组，例如第一组•显然，被积函数和L都具有轮换对称性，则(xy yz zx)ds = 3 zxdsL L2(t) y2(t) z2(t)dt— 2:•二 1 —二 3a2 sint (cost ——sint) .x 0 (3_ 2兀 1 2兀=(3a3 Jsint (cost -〒sin t)dt = -a3 Jsin2tdt =」a3 0 *3 0。