周期性函数分解的傅里叶级数.docx

周期性函数分解的傅里叶级数周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即 f⑴f(t kt)，k 、1、2式中T是周期函数的周期，且k12如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数(三角级数)(akcosk t bk sin k t)设给定的周期函数f(t),则f⑴可展开成f (t) a0 (a1cos t b1sin t) (a2 cos2 t b2 sin 2 t)a0 (ak cosk t bk sin k t) (1)k 1上式中的系数，可按下列公式计算:1 T - 1T -a1 0 f(t)dt 1 jT f(t)dt T T 2 T rak — f (t)cosk tdt1 2 ,0 f(t)cosk td ( t)1 ,f (t) cosk td ( t)bk2 T「— f (t)sin k tdt1 2 .1 0 f(t)sink td( t) 1f (t) sin k td( t)这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点设m.n是任意整数,则下取」定积分成立:202sin mxdx 0 cosmxdx 002sin mxcosnxdx 00m n2sin mxsin nxdx 00m n2,cosmxcos nxdx 00m n ,2 2 , (sin mx) dx02 (cosmx)2dx这种特点除为三角函数的正交性质。

案例来说，如果要确定系数a3,把式（1）两边各乘以8s3 t,并对两边取定积分,2 2 20 f(t)cos3 td( t) 0 a0 cos3 td( t) 0 a〔 cos tcos3 td( t) 、 2 2 2 以o b1 sin tcos3 td( t) o a2 cos2 tcos3 td( t) o b2 sin 2 t cos3 td ( t)上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下包括 a3的一项,故有:(t)cos3 td( t) a3所以a3f(t)cos3 td( t)特此结束推广到ak,有akf (t)cosk td( t)同理，如果用sink 1去乘以式（1）的两边后再取积分，则可求得1 2bk 0f (t)sin k td( t)至于a0,可以对式（1）两边就一个周期求定积分，得T0 f⑴出aoT1 T 一、，a0 - f（t）dt从而有 T 0 ，故a是f⑴在一个周期内的平均值2 .方波的傅里叶级数展开式:给定一个周期性信号f⑴，其波形如图所示，对一个周期性方波（矩形波）求此信号f⑴，的傅里叶级数展开式f⑴的表达式是f(t) Vmf(t) Vm按式（2）,可求得所需要的个数，即1T 1T 1a0 T 0 f ⑴出 T 0 Vm出 TT02( Vm)dt 0a0 0,表示恒定分量为零，因为a0代表f⑴在一个周期内的波形上下面积的代数平均值，因此当波形上下面积相等时， a0即为零1 2ak - 0 f (t) cosk td( t)1 2 2— 0 vm cosk td( t) vm cosk td( t)2Vm0cosk td ( t) 01 2bk - 0f(t)sin k td( t)2sin k td ( t) Vmsin k td ( t)2Vm0sin k td ( t)2Vm 1 kcoskbk当k为偶数时，cosk所以当k是奇数时，cosk2Vm 4Vm一 bk 2 所以 k k由此求得，. 4Vm 1 1f(t) sin t sin 3 t sin 5 t3 5如果取上列展开式的三项，分别画出各自的曲线再相加，就 可得到如图所示的合成曲线。

傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分 解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地 代表原函数从实际运算来看，必须取有限的项数，因此就产 生了误差问题截取项数的多少，视要求而定这里涉及到级数收敛的快慢问题或者说，就是相续项数的比值大小的问题，如果级数收敛很快，只取级数前几项 就够了，五次谐波一般可以略去而像图 1所示的矩形波(方波)其收敛速度比T 4Vm 11111t — t f (t) 1 -较慢例如取 2或 4,则 3 5 7 9 11T当取无穷项时，将得到f(4) vm,这是准确值但如果取到11次谐波，算出的结果约为0.95 vm。