金属地结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算.doc

08金属的结构和性质【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶 点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1（ a）和（b），图9.1（c）示出堆积所形成的正四面体空隙该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍由图和正四面体的立体几何知识可知:边长AB=2RAM高AE2iEM2 2AB2BE21deAB21AB1AE2RR2—V6r31.633ROA中心到顶点的距离:-AM4Mr21.225R中心到底边的高度:OM1am40.408R中心到两顶点连线的夹角为:AOB1cosOA2 OB2 AB22 OA OBicos2 .6R/222R2 .6R/2 21cos1/3 109.47中心到球面的最短距离OA R 0.225R本题的计算结果很重要由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R而 0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限此题的结果也是了解 hep结构中晶胞参数的基础（见习题9.04） o【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。

解：正八面体空隙由 6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径空隙的实际体积小于八面体体积 图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：OC 1AC ^/2AB 丄后 2R ^2R2 2 2而八面体空隙中心到球面的最短距离为：OC R 2R R 0.414R此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径 0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时 r /r的下限值8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：2 2厂OA — AD —J3R3 31.155R6图9.3三角形空隙中心到球面的距离为：OA R 1.155R R0.155R此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径， 0.155是“三角形离子配位多面体”中 r /r的下限值8.4】半径为R的圆球堆积成 A3结构，计算简单立方晶胞参数 a和c的数值解：图9.4示出A3型结构的一个简单六方晶胞该晶胞中有两个圆球、 4个正四面体空隙和两个正八面体空隙。

由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点， 正四面体高的两a2 c — V6r3倍即晶胞参数C,而正四面体的棱长即为晶胞参数 a或b根据9.01题的结果，可得：2 4 6R3c/a .6 1.6333【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中， 八面体空隙只能容纳半径为 °.154R的小球，四面体空隙可容纳半径为 0.291R的小球证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图 9.5（玄）和（b ）由图9.5（ a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上因此，每个晶胞中 6个八面体空隙1214 而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体,长轴为-2a，短轴为a（ a是晶胞参数）（?圆球，o八面体空隙中心，g四面体空隙中心）图9.5八面体空隙所能容纳的小球的最大半径 「0即从空隙中心（沿短轴）至吐求面的距离，该距离为2 R体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在 C3轴方向上互相接触，因而2 1 R 0.154R,3a R r ro3 代入2 ，得4个四面体中由图9.5 （ b ）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有16 4 —心，因此每个晶胞有12个四面体空隙 2。

而每个晶胞有2个球，所以每个球平均—a四面体空隙所能容纳的小球的最大半径的半径R而从空隙中心到顶点的距离为为却R宁寺R 0.291R&等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球12 5a4，所以小球的最大半径摊到6个四面体空隙这些四面体空隙也是变形的， 两条长棱皆为a，4条短棱皆为 2 8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度解：图9.6示出等径圆球密置单层的一部分由图可见，每个球6以每个球平均摊到（如A）周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由 3个球围成，所13位只包含一个球（截面）设等径圆球的半径为2个三角形空隙也可按图中画出的平行四边形单位计算该单2个三角形空隙，即每个球摊到 2个三角形空隙R,则图中平行四边形单位的边长为 2R所以二维堆积系数为:R2 R22 2 0.9062R sin60 4R2、3/2【8.7】指出A1型和A3型等径圆球密置单层的方向是什么？解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与 C3轴垂直，即与（111）面平行A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与 （001）面平行下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。

A1型密堆积可划分出如图 9.7（a）所示的立方面心晶胞在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即 C3轴每一晶胞有4条体对角线,即在4个方向上都有C3轴的对称性因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层A3型密堆积可划分出如图 9.7(b)所示的六方晶胞球A和球B所在的堆积层都是密置层•这些层面平行于(001)晶面，即垂直于 c轴，而c轴平行于六重轴 C68.8】请按下面(a) ~ (c)总结A1、A2及A3型金属晶体的结构特征a) 原子密置层的堆积方式、重复周期( A2型除外)、原子的配位数及配位情况b) 空隙的种类和大小、空隙中心的位置及平均每个原子摊到的空隙数目c) 原子的堆积系数、所属晶系、晶胞中原子的坐标参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空间点阵型式等解：(a) A1 , A2和A3型金属晶体中原子的堆积方式分别为立方最密堆积 (ccp)、体心立方密堆积(bcp)相六方最密堆积(hep)A1型堆积中密堆积层的重复方式为 ABCABCABC…， 三层为一重复周期，A3型堆积中密堆积层的重复方式为 ABABAB…，两层为一重复周期Al和A3型堆积中原子的配位数皆为 12，而A2型堆积中原子的配位数为 8 — 14，在A1 型和A3型堆积中，中心原子与所有配位原子都接触•同层 6个，上下两层各3个。

所不同的是，A1型堆积中，上下两层配位原子沿 C3轴的投影相差60呈C6轴的对称性，而 A3 型堆积中，上下两层配位原子沿 c轴的投影互相重合 在A2型堆积中，8个近距离(与中心a原子相距为 2 )配位原子处在立方晶胞的顶点上， 6个远距离(与中心原子相距为 a)配位原子处在相邻品胞的体心上b) A1型堆积和A3型堆积都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙四面体空隙可容纳半径为0.225R的小原子.八面体空隙可容纳半径为 0.414R的小原子(R为堆积原子的 半径)在这两种堆积中， 每个原子平均摊到两个四面体空隙和 1个八面体空隙差别在于，两种堆积中空隙的分布不同 在A1型堆积中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体对角R线上，到晶胞顶点的距离为 2 八面体空隙的中心分别处在晶胞的体心和棱心上在A3型堆积中，四面体空隙中心的坐标参数分别为2 1 1.21 3体空隙中心的坐标参数分别为 334334体空隙和三角形空隙（亦可视为变形三方双锥空隙3o,o, — ；o,o,85.2 1 ］；2 1 78 3,3,8,3,3 8而八面A2型堆积中有变形八面体空隙、 变形四面）八面体空隙和四面体空隙在空间上是重3个八面复利用的。

八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上每个原子平均摊到体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为 0.154R四面体空隙中心处在晶胞的面上每个原子平均摊到 6个四面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为 0.291R三角形空隙实际上是上述两种多面体空隙的连接面，算起来，每个原子摊到 12个三角形空隙c)金属的结构形式A1A2A3原子的堆积系数74.05%68.02%74.05%所属晶系立方立方六方晶胞形式面心立方体心立方六方晶胞中原子1 10,0,0；0,0,0；0,0,0； —, — ,0；2 21 1 12 1 1的坐标参数111 1—,0,—;0,—,—2 2 2 22,2,23,3,2晶胞参数与a 22Ra 43Ra b 2R4 -_ c 、、. 6R原子半径的关系3点阵形式面心立方体心立方简单六方综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式它们具有共性，也有差异尽管A2型结构与A1型结构冋属立方晶体，但A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要 A1型和A3型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。

差 别是它们的对称性和周期性不同 A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞其密置层方向与 c轴垂直而A1型结构的对称性比 A3型结构的对称性高，它属立方 晶系，可划分出包含 4个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直 A1型结构将原子密置层中C6轴所包含的C3轴对称性保留了下来另外， A3型结构可抽象出简单六方点阵，而A1型结构可抽象出面心立方点阵[8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元解：等径圆球的密置双层示于图 9.9仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元这两个球分布在两个密置层中， 如球A和球B图9.9密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵即密置双层仍为二维点阵结构图中画出平面点阵的素单位， 该单位是平面六方单位， 其形状与密置单层的点阵素单位一样，每个单位也只包含 1个点阵点，但它代表 2个球等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式在密置双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙前者由 3个相邻的A球和1个B球或3个相邻的B球和1个A球构成。

后者则由 3个相邻的A球和3个相邻的 B球构成球数：四面体空隙数：八面体空隙数=2: 2:1【8.10】金属铜属于 A1型结构，试计算（111 ）、（ 110 ）和（100 ）等面上铜原子的堆积系 数。