定积分在经济学中的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,6-7 定积分在经济学中的应用,,1,1.成本函数,总成本,,= 固定成本 + 可变成本,平均成本(单位成本)=,2.收益函数,,收益=价格×销量，即,R,(,Q,),,=,PQ .,,3.利润函数,,利润=总收益-总成本，即,L,(,Q,),,=,R,(,Q,)-,C,(,Q,),.,,复习,,2,,4.边际,f,(,x,),,在,,x=x,0,处的边际值为,f,′,(,x,0,),.,,边际的经济意义:当 时,,x,改变一个单位,,y,改变,个,单位 .,5.常用的边际函数,边际成本；边际收益；边际利润,,3,,,第七节  定积分在经济学中的应用,一、已知边际函数求总函数,,,二、资金流的现值和未来值,第六章,,4,,一、已知边际函数求总函数,,问题：,已知某边际经济函数，求该总经济量.,设某个经济函数,u,(,x,)的边际函数为 , 则有,,,于是,,,5,,2. 已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，,,R(0)=0, 则总收益函数为,1. 已知生产某产品的边际成本为 ，,x,为产量，,,固定成本为C(0), 则总成本函数为,,6,,3. 设利润函数,L,(,x,)=,R,(,x,)-,C,(,x,),其中,x,为产量，,,,R,(x)是收益函数,,C,(,x,)是成本函数，若,,,L,(,x,),,R,(,x,),,C,(,x,)均可导，则边际利润为：,,,L,,,(x)=,R,,(x)-,C,,(x).,,因此总利润为：,,7,,,例1,生产某产品的边际成本函数为,,固定成本,,C,(0),,=,,1000,,,求生产,,x,,个产品的总成本函数,,.,,解,,,8,,例2,已知边际收益为 , 设,R,(0) = 0, 求,,收益函数,R,(,x,) .,,,解,,,9,,,例3：,设某商品的边际收益为,(1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益；,(2) 如果已经销售了100个商品，求再销售,100个商品的总收益和平均收益；,解,: (1),总收益函数:,平均收益:,,10,,例3：,设某商品的边际收益为,(1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益；,(2) 如果已经销售了100个商品，求再销售,100个商品的总收益和平均收益；,解,: (2),总收益为:,平均收益:,,11,,,例4：,已知生产某产品,x,台,的边际成本为,(万元/台)，边际收入为 (万元/台).,(1) 若不变成本为,C,(0)=10,(万元/台),求总成本函数，,总收入函数和总利润函数；,(2),当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;,解:,,(1),总成本为,,12,,由于当产量为零时总收入为零,即,R,(0)=0,于是,总收入为,总利润函数为,,13,,（万元）,(2),当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;,当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;,（万元）,,14,,,二、由变化率求总量,,,例5,某工厂生产某商品, 在时刻,t,的总产量变化率为 (单位/小时). 求由,,t,,=,,2,,到,,t,,=,,4,,这两小时,,的总产量,,.,,,解,,总产量,,例6,生产某产品的边际成本为 ,,,当,,产量由200增加到300时, 需追加成本为多少?,,解,,追加成本,,15,,,例7,在某地区当消费者个人收入为,,x,,时, 消费,,,支出,W,(,,x,,),,的变化率,,, 当个人收入由,,900,,增加,,,到,,1600,,时, 消费支出增加多少?,,,解,,,16,,设有本金,A,0,,年利率为,r,,则一年后得利息,A,0,r,,本利和为,A,0,＋,A,0,r,＝,A,0,(1＋,r,),,n,年后所得利息,nA,0,r,,本利和为,,A,n,=,A,0,+,nA,0,r,=,A,0,(1+,nr,)．,,这就是,单利的本利和计算公式,．,1. 单利,假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内,都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.,三、收益流的现值与未来值,,17,,第二年以第一年后的本利和,A,1,为本金,则两年后的本利和为,A,2,＝,A,0,(1＋,r,)＋,A,0,(１＋,r,),r,＝,A,0,(１＋,r,),2,，照此计算,,n,年后应得本利和为,,A,n,＝,A,0,(1＋,r,),n,．,,这就是,一般复利的本利和计算公式,.,,2. 复利,这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被,计入下一期的本金. 就像常说的“利滚利”.,三、收益流的现值与未来值,,18,,资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分,n,期计算,年利率仍为,r,,于是每期利率为,r/n,,则一年后的本利和为,,A,1,＝,A,０,(1＋,r/n,,),n,，,t,年后本利和为,,A,t,＝,A,０,(1＋,r/n,,),n,t,,，,若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是,n,→∞时,得,t,年后本利和为,,,,,,这就是,连续复利公式,．,,19,,因此，在年利率为,r,的情形下,若采用,连续复利,，有：,,（1）已知现值为,A,0,, 则,t,年后的未来值为,,A,t,＝,A,０,e,rt,，,（2）已知未来值为,A,t,, 则贴现值为,,A,０,,＝,A,t,e,-rt,期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时,3. 连续复利,每刻计算复利的方式称为,连续复利,.,贴现值：,时刻,t,的一个货币单位在时刻0时的价值.,,20,,我们知道, 若以连续复利率,r,计息, 一笔,P,元人民币,,从现在起存入银行,,t,年后的价值(将来值),,若,t,年后得到,B,元人民币, 则现在需要存入银行的金,,额(现值),,下面先介绍收益流和收益流量的概念,,.,,若某公司的收益是连续地获得的 , 则其收益可被看作是一种随时间连续变化的,收益流,. 而收益流对时间的变化率称为,收益流量 .,4、收益流的现值和将来值,,21,,收益流量实际上是一种速率,, 一般用,R,,(,t,) 表示 ;,,若时间,t,以年为单位 , 收益以元为单位 , 则收益流量的,,单位为: 元/年. (时间,t,一般从现在开始计算) . 若,,R,(,t,) =,,,b,为常数 , 则称该收益流具有,均匀收益流量,.,,将来值：,现在一定量的资金在未来某一时点上的价值,现值：,将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，,,俗称“本金”,例如：,假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元. 10500为10000的将来值,而10000为10500的现值 .,,22,,和单笔款项一样 ,,收益流的将来值,定义为将其存入,,银行并加上利息之后的本利和 ; 而,收益流的现值,是这,,样一笔款项, 若把它存入可获息的银行, 将来从收益流,,中获得的总收益, 与包括利息在内的本利和, 有相同的,,价值.,在讨论连续收益流时, 为简单起见, 假设以连续复利,,率,r,计息,,.,,,23,,若有一笔收益流的收益流量为,,R,(,t,),,(元/年) , 下面计,,算其现值及将来值,,.,,考虑从现在开始(,t,= 0)到,,T,,年后这一时间段,,. 利用元,,素法, 在区间[,,0,,,,T,,]内, 任取一小区间[,,t,,,,t,,+,,dt,,], 在该小,,区间内将,,R,,(,t,),,近似看作常数,,, 则应获得的金额近似等,,于,,R,,(,t,),,dt,,(元) .,从现在(,,t,= 0,,)算起,,R,,(,t,),,dt,,这一金额是在,t,年后的将,,来而获得, 因此在,,[,,t,,,,t,,+,,dt,,],,内,,,从而，总现值为,收益的现值,,24,,在计算将来值时, 收入,R,(,t,),,dt,在以后的(,,T,,–,,t,,)年内获,,息, 故在[,,t,,,,t,,+,,dt,,]内,,,例8,假设以年连续复利率,,r,= 0.1,,计息,,(1) 求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现,,值和将来值;,,(2) 将来值和现值的关系如何? 解释这一关系,,.,,,解,(1),,从而，将来值为,收益流的将来值,,25,,(2) 显然,,若在,t,= 0 时刻以现值 作为一笔款项存,,入银行, 以年连续复利率,,r,= 0.1计息, 则20年中这笔单,,独款项的将来值为,,而这正好是上述收益流在20年期间的将来值,,.,,,26,,例9,,某公司投资100万元建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为30万元，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资．,解,设,T,年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有,即,解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资．,,27,,作业：P267: 1, 3, 8,(注：e,-0.9,=0.4066),周三、五复习第六章,,28,,一般来说, 以年连续复利率,r,计息, 则在从现在起到,,,T,,年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为,,单笔款项存入银行,T,年后的将来值.,,例1,设有一项计划现在(,,t,= 0,,)需要投入 1000 万元,,,在,,10,,年中每年收益为,,200,,万元. 若连续利率为,,5%, 求,,收益资本价值,W,. (设购置的设备10年后完全失去价值),,,解,资本价值 = 收益流的现值,–,投入资金的现值,,,29,,,例2,某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,,,每年的收益流量为10万元, 求内部利率,,(注: 内部利率,,是使收益价值等于成本的利率) .,,,解,由收益流的现值等于成本, 得,,可用近似计算得,,,30,,设有一笔数量为,A,0,元的资金存入银行，若年利率为,r,，按复利方式每年计息一次，则该笔资金,t,年后的本利和为,1.连续复利概念,如果每年分,n,次计息，每期利率为,r/n,，则,t,年后的本利和为,当,n,无限增大时，由于，故,三、收益流的现值与未来值,,31,,称为,t,年末的,A,t,元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式．,为,A,0,元的现值(即现在价值)在连续复利方式下折,,算为t年后的未来值(将来价值)的计算公式．,建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点的资金进行比较，以便进行投资决策．,,32,,。