希尔伯特的23个问题.ppt

 希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ　Ｄ希尔伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ　Ｄ·，１８２．１．，１８２．１．２３２３—１９４３．２．１４）是二十世纪上半叶德国乃至１９４３．２．１４）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一全世界最伟大的数学家之一.他在横跨两个世纪的六十年他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学把他的思想深深地渗透进了整个现代数学.希尔伯特是哥希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响界产生影响.希尔伯特去世时，德国希尔伯特去世时，德国《《自然自然》》杂志发表过杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作某种途径导源于希尔伯特的工作.他像是数学世界的亚历他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字.  19001900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了２３个年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了２３个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的的“希尔伯特希尔伯特2323个问题个问题”. .　　　　19751975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特２３个问题的研究进展情况个问题的研究进展情况. .当时统计，约有一半问题已经解当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展决了，其余一半的大多数也都有重大进展. .　　　　19761976年，在美国数学家评选的自年，在美国数学家评选的自19401940年以来美国数学年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第１、第５、第１０的十大成就中，有三项就是希尔伯特第１、第５、第１０问题的解决问题的解决. .由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣学家的无上光荣. .　　下面摘录的是　　下面摘录的是19871987年出版的年出版的《《数学家小辞典数学家小辞典》》以及其以及其它一些文献中收集的希尔伯特它一些文献中收集的希尔伯特2323个问题及其解决情况：个问题及其解决情况：　　１．连续统假设　１．连续统假设　　18741874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设的基数，这就是著名的连续统假设.1938.1938年，哥德尔证明年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛－－弗伦克尔集合论公了连续统假设和世界公认的策梅洛－－弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性理系统的无矛盾性.1963.1963年，美国数学家科亨证明连续假年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛－－伦克尔集合论公理是彼此独立的设和策梅洛－－伦克尔集合论公理是彼此独立的. .因此，因此，连续统假设不能在策梅洛－－弗伦克尔公理体系内证明其连续统假设不能在策梅洛－－弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否正确性与否. .解决的情况解决的情况 公理化集合论公理化集合论 1963年，年，Paul J.Cohen 在下述意义下在下述意义下证明了第一个问题是不可解的证明了第一个问题是不可解的. .即连续统假设的真伪不可即连续统假设的真伪不可能在能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定公理系统内判定 ２．算术公理的相容性２．算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性. .希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，19311931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法，年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法，19361936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性算术公理的相容性. .　　　　　　19881988年出版的年出版的《《中国大百科全书中国大百科全书》》数学卷指出，数学数学卷指出，数学相容性问题尚未解决相容性问题尚未解决. .解决的情况解决的情况 算术公理的相容性算术公理的相容性 数学基础数学基础 希尔伯特证明算术公理希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（计划（“元数元数学学”或或“证明论证明论”）但）但1931年歌德尔的年歌德尔的“不完备定理不完备定理”指指出了用出了用“元数学元数学”证明算术公理的相容性之不可能证明算术公理的相容性之不可能. .数学数学的相容性问题至今未解决的相容性问题至今未解决. . 　　３．两个等底等高四面体的体积相等问题３．两个等底等高四面体的体积相等问题　　问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不　　问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等. .ＭＭ·ＷＷ·德恩德恩19001900年即对此问题给出了肯定解答年即对此问题给出了肯定解答. .解决的情况解决的情况 两等高等底的四面体体积之相等两等高等底的四面体体积之相等 几何基础几何基础 这问题很这问题很快（快（1900）即由希尔伯特的学生）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解给出了肯定的解答答. . ４．两点间以直线为距离最短线问题４．两点间以直线为距离最短线问题　　此问题提得过于一般　　此问题提得过于一般. .满足此性质的几何学很多，因满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件而需增加某些限制条件.1973.1973年，苏联数学家波格列洛夫年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决宣布，在对称距离情况下，问题获得解决. .　　《《中国大百科全书中国大百科全书》》说，在希尔伯特之后，在构造与探说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决. .解决的情况解决的情况 直线作为两点间最短距离问题直线作为两点间最短距离问题 几何基础几何基础 这一问题提这一问题提得过于一般得过于一般. .希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决但问题并未完全解决. . ５．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假５．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的定是可微的　　这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部　　这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯欧氏群都有一定是李群？中间经冯··诺伊曼（诺伊曼（19331933，对紧，对紧群情形）、邦德里雅金（群情形）、邦德里雅金（19391939，对交换群情形）、谢瓦荚，对交换群情形）、谢瓦荚（（19411941，对可解群情形）的努力，，对可解群情形）的努力，19521952年由格利森、蒙哥年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果. .解决的情况解决的情况 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论拓扑群论 经过漫长的努力，这个问题于经过漫长的努力，这个问题于1952年由年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的等人最后解决，答案是肯定的. . 　６．物理学的公理化　６．物理学的公理化　　希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，　　希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学首先是概率和力学.1933.1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化现了将概率论公理化. .后来在量子力学、量子场论方面取后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功得了很大成功. .但是物理学是否能全盘公理化，很多人表但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑示怀疑. .　　 解决的情况解决的情况 物理公理的数学处理物理公理的数学处理 数学物理数学物理 在量子力学、热力学在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题. .概率论的公概率论的公理化已由理化已由A.H.Konmoropob等人建立等人建立. . ７．某些数的无理性与超越性７．某些数的无理性与超越性　　　　19341934年，Ａ年，Ａ·ＯＯ·盖尔方德和Ｔ盖尔方德和Ｔ·施奈德各自独立地施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠０，１，０，１，和和任意代数无理数任意代数无理数β证明了证明了αβ的超越性　的超越性　 解决的情况解决的情况 某些数的无理性与超越性某些数的无理性与超越性 超越数论超越数论 1934年年A.O.temohm 和和Schneieder各自独立地解决了这问题的后各自独立地解决了这问题的后半部分半部分. . ８．素数问题８．素数问题　　包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等　　包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等. .一一般情况下的黎曼猜想仍待解决般情况下的黎曼猜想仍待解决. .哥德巴赫猜想的最佳结果哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（１９６６），但离最解决尚有距离属于陈景润（１９６６），但离最解决尚有距离. .目前孪目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润生素数问题的最佳结果也属于陈景润. .解决的情况解决的情况 素数问题素数问题 数论数论 一般情况下的一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜猜想至今仍是猜想想. .包括在第八问题中的包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决问题至今也未解决. .中国中国数学家在这方面做了一系列出色的工作数学家在这方面做了一系列出色的工作. . ９．在任意数域中证明最一般的互反律９．在任意数域中证明最一般的互反律　　该问题已由日本数学家高木贞治（１９２１）和德国　　该问题已由日本数学家高木贞治（１９２１）和德国数学家Ｅ数学家Ｅ·阿廷（１９２７）解决阿廷（１９２７）解决. . 解决的情况解决的情况 任意数域中最一般的互反律之证明任意数域中最一般的互反律之证明 类域论类域论 已由高木已由高木贞治贞治(1921)和和E.Artin(1927)解决解决. . １０．丢番图方程的可解性１０．丢番图方程的可解性　　能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可　　能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解解. .希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？１９７０年，苏联的ＩＯ断一个丢番图方程的可解性？１９７０年，苏联的ＩＯ·ＢＢ·马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在　马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在　 解决的情况解决的情况 Diophantius方程可解性的判别方程可解性的判别 不定分析不定分析 1970年由苏、年由苏、美数学家证明美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的所期望的一般算法是不存在的. . 1111．系数为任意代数数的二次型．系数为任意代数数的二次型　　　　 ＨＨ··哈塞（１９２９）和Ｃ哈塞（１９２９）和Ｃ··ＬＬ··西格尔（１９３６，西格尔（１９３６，１９５１）在这个问题上获得重要结果１９５１）在这个问题上获得重要结果. .解决的情况解决的情况 系数为任意代数数的二次型系数为任意代数数的二次型 二次型理论二次型理论 H.Hasse(1929)和和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果在这问题上获得了重要的结果. . 1212．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去上去　　　　 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远解决的情况解决的情况 Abel域上域上 kroneker定理推广到任意代数有理域定理推广到任意代数有理域. . 复乘复乘法理论法理论 尚未解决尚未解决 1313．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程　　七次方程的根依赖于３个参数　　七次方程的根依赖于３个参数a、、b、、c ，即，即x=x( ( a, b, c））. .这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（尔德解决了连续函数的情形（19751975），维士斯金又把它推），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（广到了连续可微函数的情形（19641964））. .但如果要求是解析但如果要求是解析函数，则问题尚未解决函数，则问题尚未解决. . 解决的情况解决的情况 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程. . 方方程论与实函数论程论与实函数论 连续函数情形于连续函数情形于1957年由苏数学家否定年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决. . 　　1414．证明某类完备函数系的有限性．证明某类完备函数系的有限性　　这和代数不变量问题有关　　这和代数不变量问题有关.1958.1958年，日本数学家永田年，日本数学家永田雅宜给出了反例雅宜给出了反例. . 解决的情况解决的情况 证明某类完全函数系的有限性证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决年永田雅宜给出了否定解决. . 　　　　1515．舒伯特计数演算的严格基．舒伯特计数演算的严格基? ?　　一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几　　一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法法. .希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础. .现在已现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系. .但但严格的基础迄今仍未确立严格的基础迄今仍未确立. . 解决的情况解决的情况 Schubert记数演算的严格基础记数演算的严格基础 代数几何学代数几何学 由于许多数由于许多数学家的努力，学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，演算的基础的纯代数处理已有可能，但但Schubert演算的合理性仍待解决演算的合理性仍待解决. .至于代数几何的基础，至于代数几何的基础，已由已由B.L.Vander Waerden(1938-40)与与 A.Weil(1950)建立建立. . 1 1６．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题６．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题　　这个问题分为两部分　　这个问题分为两部分. .前半部分涉及代数曲线含有前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目闭的分枝曲线的最大数目. .后半部分要求讨论后半部分要求讨论　　的极限环的最大个数和相对位置，其中Ｘ、Ｙ是　　的极限环的最大个数和相对位置，其中Ｘ、Ｙ是ｘ、ｙ的ｎ次多项式ｘ、ｙ的ｎ次多项式. .苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了ｎ＝２时极限环的个数不超过３，但这一结论是错了ｎ＝２时极限环的个数不超过３，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（１９７９）误的，已由中国数学家举出反例（１９７９）. .解决的情况解决的情况 代数曲线与曲面的拓扑代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论分方程的定性理论 问题的前半部分，近年来不断有重要问题的前半部分，近年来不断有重要结果结果. . 　　1717．半正定形式的平方和表示．半正定形式的平方和表示　　　　 一个实系数一个实系数n元多项式对一切数组元多项式对一切数组( (x1 , x2 , ...... ，， xn) )都恒大于或等于都恒大于或等于0 0，是否都能写成平方和的形式？，是否都能写成平方和的形式？19271927年年阿廷证明这是对的阿廷证明这是对的. .解决的情况解决的情况 正定形式的平方表示式正定形式的平方表示式 域（实域）论域（实域）论 已由已由Artin 于于1926年解决年解决 1818．用全等多面体构造空间．用全等多面体构造空间　　　　 由德国数学家比勃马赫（由德国数学家比勃马赫（19101910）、荚因哈特（）、荚因哈特（19281928）作）作出部分解决出部分解决. . 解决的情况解决的情况 由全等多面体构造空间由全等多面体构造空间 结晶体群理论结晶体群理论 部分解决部分解决. . 　　1919．正则变分问题的解是否一定解析．正则变分问题的解是否一定解析　　　　 对这一问题的研究很少对这一问题的研究很少. .ＣＣ·ＨＨ·伯恩斯坦和彼得罗伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果夫斯基等得出了一些结果. . 解决的情况解决的情况 正则变分问题的解是否一定解析正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理椭圆型偏微分方程理论论 这个问题在某种意义上已获解决这个问题在某种意义上已获解决. . 2020．一般边值问题．一般边值问题　　 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支. .目前还在继续研究目前还在继续研究. .解决的情况解决的情况 一般边值问题一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展值问题的研究正在蓬勃发展. . 　　２１．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证　　２１．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明明　　已由希尔伯特本人（１９０５）和Ｈ　　已由希尔伯特本人（１９０５）和Ｈ·罗尔（１９５罗尔（１９５７）的工作解决７）的工作解决. . 解决的情况解决的情况 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常线性常微分方程大范围理论微分方程大范围理论 已由已由Hilbert本人（本人（1905）年和）年和 H.Rohrl(德，德，1957)解决解决. . 2222．由自守函数构成的解析函数的单值化．由自守函数构成的解析函数的单值化　　　　 它涉及艰辛的黎曼曲面论，它涉及艰辛的黎曼曲面论，19701970年Ｐ年Ｐ··克伯获重要突克伯获重要突破，其他方面尚未解决破，其他方面尚未解决. .解决的情况解决的情况 解析关系的单值化解析关系的单值化 Riemann Riemann 曲面体曲面体 一个变数的情形一个变数的情形已由已由 P.P.KoebeKoebe ( (德，德，1907)1907)解决解决. . 2323．变分法的进一步发展出．变分法的进一步发展出　　这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分　　这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法法的一般看法.20.20世纪以来变分法有了很大的发展世纪以来变分法有了很大的发展. .　　　　解决的情况解决的情况 变分法的进一步发展变分法的进一步发展 变分法变分法 HilbertHilbert本人和许多数本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献学家对变分法的发展作出了重要的贡献. . 这这23问题涉及现代数学大部分重问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了要领域，推动了20世纪数学的发展世纪数学的发展.。