勾股定理的总统证法与他证法.doc

总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的；　　在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州XX党议员伽菲尔德他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说："请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？"伽菲尔德答到："是5呀"小男孩又问道："如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？"伽菲尔德不加思索地回答到："那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方"小男孩又说道："先生,你能说出其中的道理吗？"伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。

　　于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法他是这样分析的,如图所示：　　　　1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为"总统勾股定理的证明罗洪信 〔2002年4月25日参加XX市创新教育课堂教学大比武用[证法1]〔课本的证明做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即,整理得.[证法2]〔邹元治证明以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵RtΔGDH ≌RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于.∴. ∴.[证法3]〔赵爽证明以a、b 为直角边〔b>a, 以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º,∴∠EAB + ∠HAD = 90º,∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.∵EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.∴.∴.[证法4]〔1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.∴.∴.[证法5]〔梅文鼎证明做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED,∵∠EGF + ∠GEF = 90°,∴∠BED + ∠GEF = 90°,∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c,∴ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵RtΔABC ≌RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º. 即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则,∴.[证法6]〔项明达证明做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b〔b>a ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵∠BCA = 90º,QP∥BC,∴∠MPC = 90º,∵BM⊥PQ,∴∠BMP = 90º,∴BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90º.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º,∴∠QBM = ∠ABC,又∵∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c,∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌RtΔAEF.从而将问题转化为[证法4]〔梅文鼎证明.[证法7]〔欧几里得证明做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L. ∵AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,∴ΔFAB ≌ΔGAD,∵ΔFAB的面积等于,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ ,即 .[证法8]〔利用相似三角形性质证明如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中,∵∠ADC = ∠ACB = 90º,∠CAD = ∠BAC,∴ΔADC ∽ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB,即.同理可证,ΔCDB ∽ΔACB,从而有.∴,即 .[证法9]〔杨作玫证明做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b〔b>a,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R. 过B作BP⊥AF,垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H.∵∠BAD = 90º,∠PAC = 90º,∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º,∠BCA = 90º,AD = AB = c,∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴DH = BC = a,AH = AC = b.由作法可知, PBCA 是一个矩形,所以 RtΔAPB ≌RtΔBCA. 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = b―a. ∵RtΔDGT ≌RtΔBCA ,RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴RtΔDGT ≌RtΔDHA .∴DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90º,∠DHF = 90º,∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º,∴DGFH是一个边长为a的正方形. ∴GF = FH = a . TF⊥AF,TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP= b,高FP=a +〔b―a.用数字表示面积的编号〔如图,则以c为边长的正方形的面积为①∵= ,,∴= .②把②代入①,得= = .∴.[证法10]〔李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a、b〔b>a,斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号〔如图.∵∠TBE = ∠ABH = 90º,∴∠TBH = ∠ABE.又∵∠BTH = ∠BEA = 90º,BT = BE = b,∴RtΔHBT ≌RtΔABE.∴HT = AE = a.∴GH = GT―HT = b―a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90º,∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º,∴∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB―ED = b―a,∠HGF = ∠BDC = 90º,∴RtΔHGF ≌RtΔBDC. 即.过Q作QM⊥AG,垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º,可知∠ABE= ∠QAM,而AB = AQ = c,所以RtΔABE ≌RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌RtΔQAM .即. 由RtΔABE ≌RtΔQAM,又得QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE. ∵∠AQM + ∠FQM = 90º,∠BAE + ∠CAR = 90º,∠AQM = ∠BAE,∴∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90º,QM = AR = a,∴RtΔQMF ≌RtΔARC. 即.∵,,,又∵,,,∴==,即 .[证法11]〔利用切割线定理证明在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得=== ,即,∴.[证法12]〔利用多列米定理证明在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c〔如图.过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有,∵ AB = DC = c,AD = BC = a,AC = BD = b,∴,即 ,∴.[证法13]〔作直角三角形的内切圆证明在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、。