第2章1晶体几何学点阵与群论分解.ppt

第第2 2章章 晶体几何学晶体几何学本章内容介绍：本章内容介绍：1 1、点阵与点阵结构、点阵与点阵结构 2 2、群论、群论 3 3、分子对称性、分子对称性 4 4、晶体的宏观对称性、晶体的宏观对称性2.1 点阵与点阵结构点阵与点阵结构1.1.点阵的意义点阵的意义 晶体的结构就是质点在空间的排列方式，需对晶体晶体的结构就是质点在空间的排列方式，需对晶体进行几何抽象，进行几何抽象，将组成物质的质点抽象化，忽略其大小将组成物质的质点抽象化，忽略其大小和重量及化学和物理属性使之成为一个纯粹的几何点，和重量及化学和物理属性使之成为一个纯粹的几何点，抽象后的这些几何点称为阵点或节点抽象后的这些几何点称为阵点或节点lattice lattice pointpoint））, ,它们在空间周期性的规则排列称为它们在空间周期性的规则排列称为它们在空间周期性的规则排列称为它们在空间周期性的规则排列称为““““点阵点阵点阵点阵””””（（（（latticelatticelatticelattice））））, , , ,因此点阵是表达晶体结构周期性的一种因此点阵是表达晶体结构周期性的一种几何形式。

几何形式 关于晶体结构规律性的探讨是多方面的也是无止境关于晶体结构规律性的探讨是多方面的也是无止境的，我们研究的的，我们研究的只是晶体内部结构中原子组态的一个抽只是晶体内部结构中原子组态的一个抽象几何模型象几何模型2.点阵结构的确定：点阵结构的确定： 为便于点阵结构的描述，采用三组互不共面的平行为便于点阵结构的描述，采用三组互不共面的平行线将全部点阵连接起来，线将全部点阵连接起来，这样整个点阵就可以看作是由这样整个点阵就可以看作是由一系列形状、大小、完全相同的，且相互紧密排列在一一系列形状、大小、完全相同的，且相互紧密排列在一起的平行六面体所构成起的平行六面体所构成 晶体结构中原子排列的几何规律性晶体结构中原子排列的几何规律性，最基本的一条最基本的一条是原子排列的周期性是原子排列的周期性图图2-2 NaCl结构平面图形结构平面图形 CaF2结构结构二氧化硅结构二氧化硅结构氯化铯结构氯化铯结构干冰干冰氯化钠结构图氯化钠结构图氯化钠结构图氯化钠结构图金刚石型晶体结构二氧化碳晶体结构在在NaCl晶体结构中，所有晶体结构中，所有Na+的前后、左右、上下都的前后、左右、上下都是是Cl－－，所有，所有Cl—的前后、左右、上下部是的前后、左右、上下部是Na+。

在在NaCl晶体结构中所有晶体结构中所有Na+在同一取向上所处的在同一取向上所处的几何环几何环几何环几何环境和物质环境皆相同境和物质环境皆相同境和物质环境皆相同境和物质环境皆相同；所有；所有Cl－－在同一取向上所处的在同一取向上所处的几何环境和物质环境皆相同；几何环境和物质环境皆相同；但在同一取向上但在同一取向上Na+的的环境与环境与Cl—的环境都不相同的环境都不相同 晶体结构中在同一取向上几何环境和物质环境皆晶体结构中在同一取向上几何环境和物质环境皆晶体结构中在同一取向上几何环境和物质环境皆晶体结构中在同一取向上几何环境和物质环境皆相同的点称为等同点相同的点称为等同点相同的点称为等同点相同的点称为等同点NaCl晶体结构中，晶体结构中， Na+所在的所在的点是一类等同点，点是一类等同点，C1—所在的点又是一类等同点所在的点又是一类等同点n 例如例如Na+和和C1-之间的中点之间的中点(图中的图中的M点点)，其所处的，其所处的环境皆相同环境皆相同(它们所在点的电子密度和电场强度皆相等它们所在点的电子密度和电场强度皆相等)，是一类，是一类等同点等同点等同点等同点。

在同一在同一NaCl晶体结构中，我们可以找晶体结构中，我们可以找出无穷多类等同点出无穷多类等同点(如如M和和a点点)，但由每一类等同点集合，但由每一类等同点集合而成的图形，都呈现出相同的形态而成的图形，都呈现出相同的形态(称为面心立方点阵称为面心立方点阵)每一类等同点集合成一等同点类每一类等同点集合成一等同点类n 下图所示的图形是下图所示的图形是NaCl晶体结构中各等同点类所共同晶体结构中各等同点类所共同具有的几何形象具有的几何形象这种概括地表示晶体结构中等同点排这种概括地表示晶体结构中等同点排这种概括地表示晶体结构中等同点排这种概括地表示晶体结构中等同点排列规律的几何图形列规律的几何图形列规律的几何图形列规律的几何图形( (点集合点集合点集合点集合) )，称为空间点阵或空间格子，称为空间点阵或空间格子，称为空间点阵或空间格子，称为空间点阵或空间格子n 在在NaCl晶体结构的空间点阵中，每一点既可以来晶体结构的空间点阵中，每一点既可以来代表代表Na+或或Cl-也可用来代表其它各类等同点也可用来代表其它各类等同点构成空构成空构成空构成空间点阵的点是抽象的几何点，称为格点间点阵的点是抽象的几何点，称为格点间点阵的点是抽象的几何点，称为格点间点阵的点是抽象的几何点，称为格点( (通常也称为结通常也称为结通常也称为结通常也称为结点点点点) )。

空间点阵是由具有物质性的晶体结构抽象出来的空间点阵是由具有物质性的晶体结构抽象出来的几何图形，其中的格点虽与晶体结构内任一类等同点几何图形，其中的格点虽与晶体结构内任一类等同点相当，但相当，但只有几何意义只有几何意义，并非具体的质点并非具体的质点另一方而，另一方而，抽象的空间点阵却不能脱离具体的晶体结构而单独存抽象的空间点阵却不能脱离具体的晶体结构而单独存在，在，它不是一个无物质基础的纳粹几何图形它不是一个无物质基础的纳粹几何图形导出空间格子的方法：导出空间格子的方法： 首先在晶体结构中找出首先在晶体结构中找出等同点等同点，再将相当点，再将相当点按照一定的规律连接起来就形成了空间格子按照一定的规律连接起来就形成了空间格子等同点等同点（两个条件：（两个条件：1 1、性质相同，、性质相同，2 2、周围环境相同周围环境相同两两种种推推导导方方式式结结果果一一致致n对于同一晶体结构，不论等同点在哪里，所得对于同一晶体结构，不论等同点在哪里，所得出的一系列等同点出的一系列等同点在空间的相对位置都是一致在空间的相对位置都是一致的的，但对于不同的晶体结构，所得的空间格子，但对于不同的晶体结构，所得的空间格子具体形式是有区别的。

具体形式是有区别的n等同点的分布可以体现等同点的分布可以体现具体结构中的所有质点具体结构中的所有质点的重复规律的重复规律，这种规律就是，这种规律就是等同点在三维空间等同点在三维空间作格子状排列作格子状排列n空间格子只是空间格子只是一个几何图形一个几何图形，是从具体的晶体，是从具体的晶体内部质点内部质点抽象抽象而来的n n““晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图象的固体象的固体””＊＊＊＊＊＊对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也不尽相同！！！不尽相同！！！不尽相同！！！不尽相同！！！＊＊＊＊＊＊ 为保证所截取的平行六面体能够统一，且又是最为保证所截取的平行六面体能够统一，且又是最简单，又能代表整个点阵的几何特性特如下规定：简单，又能代表整个点阵的几何特性特如下规定：3、平行六面体的截取规定：、平行六面体的截取规定：ⅠⅠⅠⅠ、所选取的平行六面体必须能够反映点、所选取的平行六面体必须能够反映点、所选取的平行六面体必须能够反映点、所选取的平行六面体必须能够反映点阵的宏观对称阵的宏观对称阵的宏观对称阵的宏观对称性。

性ⅡⅡⅡⅡ、在满足上述、在满足上述、在满足上述、在满足上述ⅠⅠⅠⅠ条件下、所选取的平行六面体应具有条件下、所选取的平行六面体应具有条件下、所选取的平行六面体应具有条件下、所选取的平行六面体应具有尽可能多的直角尽可能多的直角尽可能多的直角尽可能多的直角ⅢⅢⅢⅢ、在满足、在满足、在满足、在满足ⅠⅠⅠⅠ, , ⅡⅡⅡⅡ规定的条件下，选取的平行六面体应为规定的条件下，选取的平行六面体应为规定的条件下，选取的平行六面体应为规定的条件下，选取的平行六面体应为最小体积最小体积最小体积最小体积n与单位平行六面体相应的晶体结构单元是晶体的基本结与单位平行六面体相应的晶体结构单元是晶体的基本结构单元，客观反映了晶体结构的三维周期性的晶格构单元，客观反映了晶体结构的三维周期性的晶格，，将将晶体结构截分为一个个彼此并置而相互等同的平行六面晶体结构截分为一个个彼此并置而相互等同的平行六面体的基本单元，称之为体的基本单元，称之为‘晶胞晶胞’（（unit cell）n n晶胞包括两个要素：晶胞包括两个要素：晶胞包括两个要素：晶胞包括两个要素：一一一一是晶胞的大小、型式二是晶胞是晶胞的大小、型式二是晶胞是晶胞的大小、型式。

二是晶胞是晶胞的大小、型式二是晶胞的内容n能使点阵结构复原的全部平移向量聚合而成一个群，称能使点阵结构复原的全部平移向量聚合而成一个群，称为平移群为平移群设反映结构的三维周期性的三个互不共面的设反映结构的三维周期性的三个互不共面的基向量为基向量为a,b,c，而，而m,n,p为任意常数，则平移向量组为：为任意常数，则平移向量组为： Tmnp＝＝ma+nb+pc(m,n,p=0,±1;±2…..±∞)P=0表示平面点阵的平移群表示平面点阵的平移群p,n=0表示直线点阵的平移群表示直线点阵的平移群空间格子表明了晶体物质在三维空间格子表明了晶体物质在三维空间质点做周期性重复排列这一空间质点做周期性重复排列这一根本的性质，因此晶体也可以定根本的性质，因此晶体也可以定义为具有格子构造的固体义为具有格子构造的固体FeS2晶体结构的一个平面，类似于花布图案晶体结构的一个平面，类似于花布图案每一个晶体结构中都含有一个每一个晶体结构中都含有一个潜在的抽象的空间点阵潜在的抽象的空间点阵空空空空间点阵的每一个格点对应着晶体结构中间点阵的每一个格点对应着晶体结构中间点阵的每一个格点对应着晶体结构中间点阵的每一个格点对应着晶体结构中一定数量一定数量一定数量一定数量的粒子的粒子的粒子的粒子。

换言之，换言之，晶体结构中一定数量粒子构成的晶体结构中一定数量粒子构成的晶体结构中一定数量粒子构成的晶体结构中一定数量粒子构成的粒子集团粒子集团粒子集团粒子集团可以表可以表可以表可以表示为示为示为示为相应相应相应相应的空间点阵的的空间点阵的的空间点阵的的空间点阵的一个格点一个格点一个格点一个格点，，晶体结构的这个与空间晶体结构的这个与空间点阵点阵----格点相对应的粒子集团，称为晶体结构的基元格点相对应的粒子集团，称为晶体结构的基元犹如一个格点按照空间点阵的周期重复成整个空间点阵那犹如一个格点按照空间点阵的周期重复成整个空间点阵那样，样，一个基元按照空间点阵的周期就可以重复成整个晶体一个基元按照空间点阵的周期就可以重复成整个晶体一个基元按照空间点阵的周期就可以重复成整个晶体一个基元按照空间点阵的周期就可以重复成整个晶体结构结构结构结构，，实际上，实际上，晶体结构的基元就是初级单位晶胞晶体结构的基元就是初级单位晶胞 4、格子和晶胞、格子和晶胞格子的类型：根据点阵点的位置格子的类型：根据点阵点的位置素格子（素格子（P））;体心格子（体心格子（I）；底心格子（）；底心格子（A，，B, C）；）；面心格子（面心格子（F））晶胞中原子的位置一般用分数来表示。

晶胞中原子的位置一般用分数来表示对于立方格对于立方格子子a,b,c正交等长，例如正交等长，例如CsCl晶体结构中：晶体结构中：Cs+ (0,0,0), Cl-(1/2,1/2,1/2)，，其结构基元由一个其结构基元由一个Cs+和和Cl-组成 结构基元由两个结构基元由两个O2-，四个，四个Cu2+构成，晶胞代表了晶体构成，晶胞代表了晶体结构，所以只要知道了一个晶胞中的原子的位置，就确定结构，所以只要知道了一个晶胞中的原子的位置，就确定了整个晶体中原子的位置了整个晶体中原子的位置n5、重要的概念：、重要的概念：1、行列：、行列：结点在直线上的排列；结点在直线上的排列；空间格子任意两个结点空间格子任意两个结点连接起来就是一条行列，连接起来就是一条行列，行列中相邻节点间距离称为该行列中相邻节点间距离称为该行列的行列的结点间距结点间距，，不同方向行列上的结点间距一般是不不同方向行列上的结点间距一般是不等的2、面网：、面网：结点在平面上分布即构成面网结点在平面上分布即构成面网空间格子不在空间格子不在同一行列上的同一行列上的三个结点就可以连成一个面网，或任意两三个结点就可以连成一个面网，或任意两个相交的行列就可以决定一个面网个相交的行列就可以决定一个面网。

面网上单位面积内面网上单位面积内节点的数目称为节点的数目称为面网密度面网密度，，任意两个面网之间的距离称任意两个面网之间的距离称为为面网间距面网间距，，平行的面网，面网间距与面网密度都相等，平行的面网，面网间距与面网密度都相等，不平行的面网，一般面网密度与面网间距不等，且面网不平行的面网，一般面网密度与面网间距不等，且面网密度大的面网间距亦大密度大的面网间距亦大面网面网AA’间距间距d1面网面网BB’间距间距d2面网面网CC’间距间距d3面网面网DD’间距间距d4面网间距依次减小面网间距依次减小,面网面网密度也是依次减小的密度也是依次减小的.所以所以: 面网密度与面网面网密度与面网间距成正比间距成正比.n6、非晶体：、非晶体： 不具备格子构造，内部只是统计上的均一，不具备格子构造，内部只是统计上的均一，性质在各个方向上同一，无规则的外形的无定形性质在各个方向上同一，无规则的外形的无定形体 晶体与非晶体可以在晶体与非晶体可以在一定条件下转化一定条件下转化：：玻璃玻璃上的霉点，就是向结晶态转变的雏晶，上的霉点，就是向结晶态转变的雏晶，这种由非这种由非晶态向晶态转化称为晶态向晶态转化称为晶化晶化；；某些含有放射性元素某些含有放射性元素的矿物晶体由于其蜕变所放出的核能，破坏了晶的矿物晶体由于其蜕变所放出的核能，破坏了晶体内部的结构而产生了体内部的结构而产生了非晶化现象非晶化现象。

在热力学条件下，晶体是稳定的，具有最小在热力学条件下，晶体是稳定的，具有最小的内能，晶体具有最大的稳定性的内能，晶体具有最大的稳定性2.2 群论群论一、一般性定义一、一般性定义群是按照某种规律群是按照某种规律(规则规则)相互联系着的一些元素的集合相互联系着的一些元素的集合.四个条件四个条件:1、封闭性、封闭性: 群中任意两个元素的乘积和任意一个元素的群中任意两个元素的乘积和任意一个元素的平方必为群中的一个元素平方必为群中的一个元素G代表群代表群 即：即：A ∈∈ G, B ∈∈ G，，A*B＝＝C，，A＊＊A=Q, 则：则： C ∈∈ G，，Q ∈∈ G 乘积是广义的，可以用乘积是广义的，可以用‘组合组合’，，’组合积组合积’，，’操作操作’，，‘规则规则’来代替 ＊＊＊＊＊＊在群中乘法交换律不是普遍成立的！！！在群中乘法交换律不是普遍成立的！！！ 即即A*B≠B*A；；AB与与BA的意义是不同的的意义是不同的 满足交换律的群称为阿贝耳群满足交换律的群称为阿贝耳群AB：：B被被A左乘；左乘；BA：：B被被A右乘。

右乘2、群中必有一个元素可与所有其它元素互换，并使它们、群中必有一个元素可与所有其它元素互换，并使它们不变 用用E表示，称之为恒等元素，表示，称之为恒等元素，EX=XE=X；；3、乘法的结合律必须成立乘法的结合律必须成立 A(BC)＝（＝（AB））C4、每个元素必有一个逆元素，它也是群的元素、每个元素必有一个逆元素，它也是群的元素R是是S的逆元素，的逆元素，RS＝＝SR＝＝E；；E的逆元素是自己的逆元素是自己＊＊两个或多个元素乘积的逆元素等于各逆元素按相反次＊＊两个或多个元素乘积的逆元素等于各逆元素按相反次序的乘积序的乘积ABC······XY））－－1＝＝Y －－1 X －－1 ······C －－1 B －－1 A －－1二、一些例子：二、一些例子：1、有限群和无限群；、有限群和无限群；(所有的整数所有的整数)2、有限群中元素的数目称为群的阶（、有限群中元素的数目称为群的阶（h）；）；3、例子：、例子：1、所有的整数作为一个无限群所有的整数作为一个无限群 取相加过程作为取相加过程作为‘乘积乘积’，恒等元素是，恒等元素是0，每个元素的逆，每个元素的逆元素是（－元素是（－n），并且此群为阿贝耳群。

并且此群为阿贝耳群 2、所有的正数、所有的正数组合律：乘法，单位（恒等）元素是组合律：乘法，单位（恒等）元素是1，逆元素是，逆元素是1／／n4、群的乘法表、群的乘法表 h个元素的群，其乘法表由个元素的群，其乘法表由h行和行和h列所构成，所有元素之列所构成，所有元素之间的乘积列在表上（共有间的乘积列在表上（共有h2个）乘法的次序确定规则：乘法的次序确定规则：习惯上，按照（列元素）＊（行元素）的次序取这些因子习惯上，按照（列元素）＊（行元素）的次序取这些因子在标有在标有X的列和标有的列和标有Y的行的交叉点上找到的元素是的行的交叉点上找到的元素是XY的的乘积重排定理：在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每重排定理：在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列被列入一次，而且只被列入一次一列被列入一次，而且只被列入一次不可能有两个行或列是完全相同的，每一个行和列都是不可能有两个行或列是完全相同的，每一个行和列都是群元素重新排列的表群元素重新排列的表一阶群一阶群（（E））二阶群（二阶群（E，，A））G2E AE A E AA E三阶群：三阶群： E A B EA B E A B A BE A BEAB E A BABE可不可以可不可以？循环群循环群：G3AA＝＝B；； AB＝＝A(AA)＝＝E则取则取A，，A2（（AA），），A3（（AB）（＝）（＝E）将组成完整的群。

将组成完整的群 一般情况下，一般情况下，h阶循环群定义为一个元素阶循环群定义为一个元素X及其全部及其全部h个幂，一直到个幂，一直到Xh=E，另一个重要性质：循环群都是互，另一个重要性质：循环群都是互易的，是阿贝耳群，所有的乘法是可以交换的，又叫交易的，是阿贝耳群，所有的乘法是可以交换的，又叫交换群X称为生成元称为生成元G3E A B EA BE A BA B EB E A四阶群：四阶群：令令X=A，，X2=B，，X3=C，，X4=E：将有一个：将有一个4阶的循环群阶的循环群 BB＝＝E，，B的逆元素是其自身的逆元素是其自身 若取若取A，，B的逆元素是其自身的化，则的逆元素是其自身的化，则C也是其自也是其自身的逆否则同一列会出现两个相同的元素，只有一身的逆否则同一列会出现两个相同的元素，只有一种方式完成这个表：种方式完成这个表：E A B CEABC E A B C A B C E B C E A C E A BG4（1）E A B C EABC E A B C A E C B B C E A C B A EG4（2）只存在一个只存在一个5阶群；阶群；六阶群例子：六阶群例子：E A B C D F EABCDFE A B C D F A E D F B C B F E D C A C D F E A BD C A B F E F B C A E D G6（1）三、子群三、子群G6（（1））群中，有一些较小的群群中，有一些较小的群: E是一个一阶群，是一个一阶群， 三个二阶群：（三个二阶群：（E,A）；（）；（E,B）；（）；（E,C），）， 一个三阶群：一个三阶群： E,F,D（是一个三阶循环群）（是一个三阶循环群） D2=F，，D3＝＝DF＝＝FD＝＝E；； 所以所以E,F,D是三阶循环群。

是三阶循环群 这些可以在较大的群中找到的较小的群称为这些可以在较大的群中找到的较小的群称为子群子群定理：定理：h阶群的任意子群的阶阶群的任意子群的阶g必为必为h的除数，即的除数，即h/j=kK为某个整数为某个整数四、类：把群分为更小的集合四、类：把群分为更小的集合 若若A与与X是群的两个元素，则是群的两个元素，则X－－1AX将等于群中的将等于群中的某个元素某个元素B，，B= X－－1AX；；B是是A借助于借助于X所得的相似变所得的相似变换，也称换，也称A和和B是共轭的是共轭的共轭元素的性质：共轭元素的性质：1、每个元素与其自身共轭、每个元素与其自身共轭 ：：A=X－－1AX2、若、若A与与B共轭则共轭则B与与A共轭：若共轭：若 B= X－－1AX 则必有元素则必有元素Y 使使A= Y－－1BY3、若、若A与与B及及C共轭，则共轭，则B与与C相互共轭相互共轭相互共轭的元素的一个完整集合称为群的类相互共轭的元素的一个完整集合称为群的类 从一个元素开始，作出群中所有元素（包括它自己）从一个元素开始，作出群中所有元素（包括它自己）对它的变换，然后取第二个元素确定它的所有变换，这对它的变换，然后取第二个元素确定它的所有变换，这个元素不与第一个元素共轭，直到把群中所有的元素都个元素不与第一个元素共轭，直到把群中所有的元素都列入一个类或另一个类为止。

列入一个类或另一个类为止1、总结概念：点阵，阵点，等同点，晶体结构的基元，行列，面网，结点间距，面网密度，面网间距，群，阿贝耳群，子群，类2、简答题导出空间格子的方法点阵与晶胞的关系平行六面体的截取规定面网间距与面网密度的关系群的四个性质（条件）如何写出群的乘法表。