高中数学杨辉三角综合测试题(含答案).doc

高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)试卷分析 选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 一、选择题 1．1＋(1＋_)＋(1＋_)2＋…＋(1＋_)n的展开式的各项系数之和为() A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n [答案]　C [解析]　解法一：令_＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1. 解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C. 2．(_－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是() A．第4项 B．第4、5两项 C．第5项 D．第3、4两项 [答案]　B [解析]　(_－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(_－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项． 3．若_3＋1_2n展开式中的第6项的系数最大，则不含_的项等于() A．210 B．120 C．461 D．416 [答案]　A [解析]　由已知得，第6项应为中间项，则n＝10. Tr＋1＝Cr10(_3)10－r1_2r＝Cr10_30－5r. 令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210. 4．(____安徽6)设(1＋_)8＝a0＋a1_＋…＋a8_8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为() A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　A [解析]　∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，故选A. 5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝() A．2n B．0 C．－1 D．1 [答案]　D [解析]　原式＝(2－1)n＝1，故选D. 6．设A＝37＋C2735＋C4733＋C673，B＝C1736＋C3734＋C5732＋1，则A－B＝() A．128 B．129 C．47 D．0 [答案]　A [解析]　A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128. 7._2＋2_8的展开式中_4项的系数是() A．16 B．70 C．560 D．1120 [答案]　D [解析]　考查二项式定理的展开式． 设第r＋1项含有_4，则Tr＋1＝Cr8(_2)8－r(2_－1)r ＝Cr82r_16－3r， 16－3r＝4，即r＝4，所以_4项的系数为C4824＝1120. 8．(____广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋_)5＋(1＋_)6＋(1＋_)7的展开式中含_4项的系数是该数列的() A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项 [答案]　D [解析]　∵(1＋_)5＋(1＋_)6＋(1＋_)7展开式中含_4项的系数是C4511＋C4612＋C4713＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D. 9．若n为正奇数，则7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是() A．0 B．2 C．7 D．8 [答案]　C [解析]　原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7. 10．(____江西理，6)(2－_)8展开式中不含_4项的系数的和为() A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案]　B [解析]　(2－_)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－_)r＝(－1)r28－rCr8_r2，则_4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含_4项的系数之和为0，故选B. 二、填空题 11．若(1－2_)____＝a0＋a1_＋a2_2＋…＋a_________＋a_________(_R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a____)＋(a0＋a____)＝________.(用数字作答) [答案]　____ [解析]　令_＝0，则a0＝1. 令_＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a____＋a____＝(1－2)____＝－1. (a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a____)＋(a0＋a____) ＝____a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a____) ＝____－1＝____. 12．(____北京11)若_2＋1_3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)． [答案]　5　10 [解析]　令_＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5(_2)5－r1_3r＝Cr5_10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10. 13．(____全国Ⅱ理，14)若_－a_9的展开式中_3的系数是－84，则a＝________. [答案]　1 [解析]　由Tr＋1＝Cr9_9－r－a_r＝(－a)rCr9_9－2r得 9－2r＝3，得r＝3，_3的系数为(－a)3C39＝－84， 解得a＝1. 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______． [答案]　2n－1　32 [解析]　用不完全归纳法，猜想得出． 三、解答题 15．设(3_－1)8＝a8_8＋a7_7＋…＋a1_＋a0.求： (1)a8＋a7＋…＋a1； (2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0. [解析]　令_＝0，得a0＝1. (1)令_＝1得 (3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，① a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255. (2)令_＝－1得 (－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.② ①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)， a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896. 16．设(1－2_)____＝a0＋a1_＋a2_2＋…＋a_________(_R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a____的值． (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a____的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a____|的值． [分析]　分析题意令_＝1求(1)式的值 令_＝－1求(2)式的值令_＝－1求(3)式的值 [解析]　(1)令_＝1，得： a0＋a1＋a2＋…＋a____＝(－1)____＝1① (2)令_＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a____＝3____② 与①式联立，①－②得： 2(a1＋a3＋…＋a____)＝1－3____， a1＋a3＋a5＋…＋a____＝1－3____2. (3)∵Tr＋1＝Cr____1____－r(－2_)r ＝(－1)rCr____(2_)r， a2k－10(kN_)，a2k0(kN_)． |a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a____| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a____， 所以令_＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a____＝3____. 17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. [证明]　∵(1＋_)n(1＋_)n＝(1＋_)2n， (C0n＋C1n_＋C2n_2＋…＋Cnn_n)(C0n＋C1n_＋C2n_2＋…＋Cnn_n)＝(1＋_)2n， 而Cn2n是(1＋_)2n的展开式中_n的系数， 由多项式的恒等定理得 C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n. ∵Cmn＝Cn－mn(0n)， (C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. 18．求(1＋_－2_2)5展开式中含_4的项． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①n＝5；②三项的和与差． 解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解． [解析]　方法一：(1＋_－2_2)5＝[1＋(_－2_2)]5， 则Tr＋1＝Cr5(_－2_2)r(_－2_2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckr_r－k(－2_2)k＝(－2)kCkr__＋k. 令r＋k＝4，则k＝4－r. ∵0r,05，且k、rN， r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0. 展开式中含_4的项为[C25(－2)2C22＋C35(－2)C13＋C45(－2)0C04]_4＝－15_4. 方法二：(1＋_－2_2)5＝(1－_)5(1＋2_)5， 则展开式中含_4的项为 C05C45(2_)4＋C15(－_)C35(2_)3＋C25(－_)2C25(2_)2＋C35(－_)3C15(2_)＋C45(－_)4C05(2_)0＝－15_4.。