第8讲费马点最值模型(原卷版).docx

中考数学几何模型8：费马点最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山费马尔问题思考：如何找一点P使它到AABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?AEEOOPPBBCCBCBP + AP + CP =BP + PQ + QE > BE当 B、P、Q、E 四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于 120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马点费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋 转变换.秘诀：以厶ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值启迪思维 探究重点典题探究例题1.已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点°ZAGC=ZAGB=ZBGC=120°. 求证：GA+GB+GC的值最小.变式练习>>>1.如图，P是边长为1的等边AABC内的任意一点，求t = PA + PB + PC的取值范围.例题2.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为啓+ ^6，求正方形的边长.变式练习>>>2.若P为锐角△ABC的费马点，且ZABC=60。

PA=3, PC=4,求PB的值.例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收 费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最小值.变式练习>>>3.如图，某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米，AD=800米，顶点A, D为两个出口，现在 想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B，C两点)开一个货物入口 M,并修建三条专用 车道PA，PD, PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用 最少？最少费用为多少？(结果保留整数)例题4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A (-6, 0), B (6, 0), C (0,4匚亏)，延长AC到点D,使CD=*4C,过点D作DE^AB交BC的延长线于点E.(1) 求D点的坐标；(2) 作C点关于直线DE的对称点F,分别连接DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分 成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3) 在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G 点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的 位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求：简述确定G点位置的方法，不要求证明)例题5.如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=- x2+bx+c过A、B 两点，且与 x 轴交于另一点 C ．（1）求 b、c 的值；（2）如图1,点D为AC的中点，点E段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M 求点 M 的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2，P为氐ACG内一点，连 接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△ APR,等边△ AGQ，连接QR① 求证：PG=RQ；② 求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标./ £/U。

o\\£°音用圏C领悟提升 强化落实达标检测 1.如图，已知矩形ABCD, AB=4, BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为 ．2.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为( )A. ：2+ B. ：2+ 飞 C. 4 D. 3' 23.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且ZABC= ZABE=60M为对角线BD (不含B点)上任意一 点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则AM+BM+CM的最小值为 .4.将厶ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上,ZABC=30°，点P为平面内一点.(1) ZACB= 度；(2) 如图，将△ APC绕点C顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(尺规作图，保留痕迹)；(3) AP+BP+CP的最小值为.6. 已知，在△ ABC 中，ZACB = 30°(1) 如图1,当AB=AC=2，求BC的值； _(2) 如图2,当AB=AC,点七是厶ABC内一点，且PA=2, PB=T21, PC=3，求ZAPC的度数;3)如图3,当AC=4, AB = l7(CB>CA)，点P是厶ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为7. 如图1,在厶ABC中，ZACB=90°,点P为厶ABC内一点.(1) 连接PB,戶0将厶BCP沿射线CA方向平移，得到ADAE,点B, C, P的对应点分别为点D、A、 E,连接CE.① 依题意，请在图2中补全图形；② 如果BP丄CE, BP=3, AB = 6,求CE的长(2) 如图3,以点A为旋转中心，将△ ABP顺时针旋转60°得到AAMN,连接PA、PB、PC,当AC=3, AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.8．（1）阅读证明① 如图1,在厶ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为 ABC的 费马点，此时PA+PB+PC的值为△ ABC的费马距离.② 如图2,已知点P为等边△ ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB+PC=PA.（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻△ ABC （其中ZA, ZB, ZC均小于120°）的费马点和费马距离的方法: 第一步：如图3,在厶ABC的外部以BC为边长作等边△ BCD及其外接圆；第二步：在BC上取一点 P0,连接 PA, P0B, PC, PD.易知 P0A+P0B+P0C=P0A+ （P0B+P0C） =P0A+ ；第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ ABC的费马点P,线段—的长度即为△ ABC的费马距离.（3）知识应用已知三村庄A, B, C构成了如图4所示的△ ABC （其中ZA, ZB, ZC均小于120°），现选取一点P打水 井，使水井P到三村庄A, B, C所铺设的输水管总长度最小•求输水管总长度的最小值.D 图3。