2023年八年级第二学期数学期末压轴题.pdf

学习必备 欢迎下载 26． （本题满分 10 分） 已知：在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，四边形 EFGH 的三个顶点 E、F、H 分别在 矩形 ABCD 边 AB、BC、DA 上，AE=2. （1）如图①，当四边形 EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； （5 分） （2）如图②，当四边形 EFGH 为菱形，且 BF = a 时，求△GFC 的面积（用含 a 的代数式表示 ） ；（5分） D C A B E (第 26 题图 1) F H G D C A B E (第 26 题图 2) F H G 学习必备 欢迎下载 26．解： （1）如图①，过点 G 作GMBC于 M. …………………………………………（1分） 在正方形 EFGH 中， 9 0 ,H E FE HE F. …………………………………………………………（1分） 90.90 ,.AEHBEFAEHAHEAHEBEF    又∵90AB   ， ∴⊿AHE≌⊿BEF …………………………………………………………（1分） 同理可证： ⊿MFG≌⊿BEF. …………………………………………………………（1 分） ∴GM=BF=AE =2. ∴FC=BC-BF=10. …………………………………………………………（1分 ） （ 2 ） 如 图 ② ， 过 点G作GMBC于M. 连 接HF. …………………………………………（1 分） //,.//,.ADBCAHFMFHEHFGEHFGFH   .AHEMFG  ………………………………………………… （1分） 又90 ,,AGMFEHGF   ∴⊿AHE≌⊿MFG. ………………………………………………………（1分） ∴GM=AE=2. ……………………………………………………………（1分） 11(12)12.22GFCSFC GMaa …………………………………………（1分） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 如图，直线34 3yx 与x轴相交于点A，与直线3yx相交于点P. (1) 求点P的坐标. (2) 请判断△OPA的形状并说明理由. (3) 动点E从原点O出发，以每秒 1 个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合） ，过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B. 设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S. 求S与t之间的函数关系式. FBEPAOxy (备用图）PAOxy形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 解： （1）34 33yxyx 解得：22 3xy ………………………1′ ∴ 点 P的坐标为（2，2 3） ………………………1′ （2）当0y 时，4x  ∴点 A的坐标为（4，0） ………………………1′ ∵  2222 34OP  22(24)(2 30)4PA  ……………1′ ∴ OAOPPA ∴POA是等边三角形 ………………………1′ （3）当0＜t≤4 时， ………………………1′ 21328SOF EFt ………………………1′ 当 4＜t＜8 时， ………………………1′ 23 34 38 38Stt ………………………1′ 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 x y y=x A Q P O 25、 （本题 8 分）已知直角坐标平面上点 A0 , 2，P 是函数0 xxy图像上一点，PQ⊥AP 交 y 轴正半轴于点 Q（如图）. （1）试证明：AP=PQ； （2） 设点 P 的横坐标为 a， 点 Q 的纵坐标为 b， 那么 b 关于 a 的函数关系式是_______； （3）当APQAOQSS32时，求点 P 的坐标. 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 证： （1）过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 H、T， ∵点 P 在函数xy 0x的图像上， ∴PH=PT，PH⊥PT，---------------------------------------------------（1 分） 又∵AP⊥PQ， ∴∠APH =∠QPT，又∠PHA = ∠PTQ， ∴⊿PHA≌⊿PTQ, ------------------------------------------------------（1 分） ∴AP=PQ. ---------------------------------------------------------------（1 分） (2)22  ab. -------------------------------------------------------------（2 分） （3）由（1） 、 （2）知，2221aOQOASAOQ， 222122aaAPSAPQ，------------（1 分） ∴2232222aaa， 解得255a，--------------------------------------------------------（1 分） 所以点 P 的坐标是255,255与255,255. --- （1 分） ] 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26． （本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 已知点 E 是正方形 ABCD 外的一点，EA=ED，线段 BE 与对角线 AC 相交于点 F， （1）如图 1，当 BF=EF 时，线段 AF 与 DE 之间有怎样的数量关系？并证明； （2）如图 2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段 AF、BF、EF 之间的一个数量关系，并证明． 26． （1）解：AF=DE21，…………………………………………………………………（1 分） 证明如下：联结 BD 交 AC 于点 O，…………………………………………………（1 分） ∵四边形 ABCD 是正方形，∴BO=DO， ∵BF=EF，∴OF=21DE，OF//DE．………………………………………（1 分） （第 26 题） A B C D E F A B C D E F 图 1 图 2 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 ∵BD⊥AC，∴∠DEO=∠AOB =90º，…………………………………（ 1 分） ∵∠ODA=∠OAD=459021，EA=ED， ∴∠EAD=∠EDA=45º，∴∠ OAD=∠OED=∠AOD=90º， ∴四边形 AODE 是正方形．………………………………………………（1 分） ∴OA=DE， ∴OF=21AO，∴AF=AO21DE21． ……………………… （1 分） （2）解：AF+BF=EF 、AF2+EF2=2BF2等（只要其中一个，BF=)31 ( AF、EF=)32(AF、BF=（) 13 EF 也认为正确） ．…………………………（1 分） AF+BF=EF 的证明方法一： 联结 BD 交 AC 于 O，在 FE 上截取 FG=BF，联结 DG． 与第（1）同理可证∠GDA=45º，……………………………………………（ 1 分） ∵四边形 ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形，∴∠GDE=60º– 45º =15º． ∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90º +60º =150º， ∴∠ABE=∠AEB=152150180，∴∠ABF=∠GDE． 又∵∠DEG=∠DEA–∠AEB=60º– 15º =45º =∠BAC，DE=AD=AB ， ∴△ABF≌△EDG，……………………………………………………………（1 分） ∴EG=AF， ∴AF+BF=EG+FG=EF． …………………………………………… （1 分） AF+BF=EF 的证明方法二（简略） ： 在 FE 上截取 FG=AF，联结 AG．证得△AFG 为等边三角形．………………（1 分） 证得△ABF≌△AEG．……………………………………………………………（1 分） 证得 AF+BF=EF ．………………………………………………………………（1 分） AF2+EF2=2BF2的证明方法（简略） ： 作 BG⊥BF，且使 BG=BF，联结 CG、FG，证得△BGC≌△BFA．…………（1 分） 证得 FC=FE，FG=BE2，……………………………………………………（1 分） 利用 Rt△FCG 中， 得出 AF2+EF2=2BF2． …………………………………… （1 分） 27． （本题满分 10 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 3 分, 第（3）小题 4 分） 如图， 在平面直角坐标中， 四边形 OABC 是等腰梯形， CB∥OA， OC=AB=4 ， BC=6，∠COA=45°, 动点 P 从点 O 出发，在梯形 OABC 的边上运动，路径为 O→A→B→C，到达点 C 时停止．作直线 CP. 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 （1）求梯形 OABC 的面积； （2）当直线 CP 把梯形 OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线 CP 的解析式； （3）当∆ OCP 是等腰三角形时，请写出点 P 的坐标（不要求过程，只需写出结果） OABCPxy 27．如图已知一次函数 y=－x+7 与正比例函数 y=x34的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B． （1）求点 A和点 B 的坐标； （2）过点 A作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O﹣C﹣A的路线向点 A运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒) 0( t． ①当 t 为何值时，以 A、P、R为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是 QA=QP 的等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由． 解： （1）∵一次函数 y＝－x+7 与正比例函数xy34的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B． ∴y＝－x+7，0＝x+7，∴x＝7，∴B 点坐标为： （7，0） ，----------------------------1分 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 ∵y＝－x+7＝x34，解得 x＝3，∴y＝4，∴A点坐标为： （3，4） ；-------------------1分 （2）①当 0＜t＜4 时，PO＝t，PC＝4－t，BR＝t，OR＝7－t，--------------1分 过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M ∵当以 A、P、R为顶点的三角形的面积为 8，∴S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8， ∴21（AC+BO）× CO－21AC× CP－21PO× RO－21AM× BR＝8， ∴（AC+BO）× CO－AC× CP－PO× RO－AM× BR＝16， ∴（3+7）× 4－3× （4－t）－t× （7－t）－4t＝16，∴t2－8t+12＝0. -----------------1分 解得 t1＝2，t2＝6（舍去）. --------------------------------------------------------------------1分 当 4≤ t≤7时，S△APR＝21AP× OC=2（7－t）＝8，t=3(舍去)；--------------1分 ∴当 t＝2 时，以 A、P、R为顶点的三角形的面积为 8； ②存在． 当 0＜t≤4时,直线 l 与 AB 相交于 Q，∵一次函数 y＝－x+7 与 x 轴交于 B（7，0）点，与 y轴交于 N（0，7）点，∴NO＝OB，∴∠OBN＝∠ONB＝45° . ∵直线 l∥y 轴，∴RQ＝RB=t，AM=BM=4 ∴QB=t 2,AQ=t 224----------------1分 ∵RB＝OP＝QR＝t，∴PQ//OR,PQ=OR=7-t --------------------------------------1分 ∵以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，且 QP=QA， ∴7-t=t 224，t=1-32（舍去）--------------------------------------------1分 当 4＜t≤7 时，直线 l 与 OA相交于 Q， 若 QP＝QA，则 t－4+2（t－4）＝3，解得 t＝5；---------------------------------------1分 ∴当 t=5，存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是 PQ＝AQ的等腰三角形． 已知边长为 1 的正方形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上的一个动点（与点 A、C 不重合） ， 过点 P 作 PE⊥PB ，PE 交射线 DC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AC，垂足为点 F. （1）当点 E 落段 CD 上时（如图 10） ， ① 求证：PB=PE ； ② 在点 P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 若变化，试说明理由； （2）当点 E 落段 DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断 上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明） ； （3）在点 P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出 AP 的长，如果 不能，试说明理由． 27． （1）① 证：过 P 作 MN⊥AB，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N ∵正方形 ABCD ，∴ PM=AM ，MN=AB ， 从而 MB=PN ………………………………（2 分） ∴ △PMB≌△PNE，从而 PB=PE …………（2 分） D C B A E P 。

F （图 10） D C B A （备用图） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 ② 解：PF 的长度不会发生变化， 设 O 为 AC 中点，联结 PO， ∵正方形 ABCD ， ∴ BO⊥AC，…………（1 分） 从而∠PBO=∠EPF，……………………（1 分） ∴ △POB≌△PEF， 从而 PF=BO22 …………（2 分） （2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1 分） （1 分） （3）当点 E 落段 CD 上时，∠PEC 是钝角， 从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能 EP=EC ，…………（1 分） 这时，PF=FC ，∴ 2ACPC，点 P 与点 A 重合，与已知不符……（1 分） 当点 E 落段 DC 的延长线上时，∠PCE 是钝角， 从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能 CP=CE ，…………（1 分） 设 AP=x，则xPC 2，22xPCPFCF， 又 CFCE2，∴)22(22xx，解得 x=1. …………（1 分） 综上，AP=1 时，⊿PEC 为等腰三角形 五、27．如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，BC = 8 ，60B  ，点M是边BC的中点，点E、F分别是边AB、CD上的两个动点（点E与点A、B不重合，点F与点C、D不重合） ，且120EMF． （1）求证：ME = MF； 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 （2）试判断当点 E、F 分别在边 AB、CD 上移动时，五边形 AEMFD 的面积的大小是否会改变，请证明你的结论； （3）如果点 E、F 恰好是边 AB、CD 的中点，求边 AD 的长． 27．解： （1）AF +CE = EF．…………………………………………………………（1 分） 在正方形 ABCD 中，CD = AD，∠ADC = 90° ， 即得 ∠ADF +∠EDC = 90° ．…………………………………………（1 分） A B C D M E F （第 27 题图） A B C D M E F （备用图） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 ∵AF⊥EF，CE⊥EF，∴∠AFD =∠DEC = 90° ． ∴∠ADF +∠DAF = 90° ． ∴∠DAF =∠EDC． 又由 AD = DC，∠AFD =∠DEC，得△ADF≌△DCE．……………（1 分） ∴DF = CE，AF = DE． ∴AF +CE = EF．………………………………………………………（1 分） （2）由（1）的证明，可知△ADF≌△DCE． ∴DF = CE，AF = DE．…………………………………………………（1 分） 由 CE = x，AF = y，得 DE = y． 于是，在 Rt△CDE 中，CD = 2，利用勾股定理，得 222CEDECD，即得 224xy． ∴24yx．…………………………………………………………（1 分） ∴所求函数解析式为24yx，函数定义域为02x ．……（1 分） （3）当 x =1 时，得244 13yx ．……………………………（1 分） 即得 3DE ． 又∵DF = CE = 1，EF = DE – DF，∴31EF ．………………（1 分） 25．已知：梯形 ABCD 中，AB//CD，BC⊥AB，AB=AD，联结 BD（如图 1） ．点 P 沿梯形的边,从点ABCDA移动，设点 P 移动的距离为 x，BP=y. （1） 求证：∠A=2∠CBD； （2） 当点 P 从点 A 移动到点 C 时，y 与 x 的函数关系如图 2 中的折线 MNQ 所示．试求形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 CD 的长； （3） 在（2）的情况下，点 P 从点ABCDA移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形？若能， 请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的 x 的取值； 若不能，请说明理由． 四、25．(1) 证明：∵AB=AD, ∴∠ADB＝∠ABD,---------- --------------------------1分 又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180 °, ∴∠A=180°- ∠ABD-∠ADB=180 °-2 ∠ABD=2(90 °- ∠ABD) --------1分 A B C D （图 1） （图 2） y x O M N Q 8 5 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 ∵BC⊥AB，∴∠ABD+∠CBD＝90°，即∠CBD=90°- ∠ABD--------1分 ∴∠A=2∠CBD----------------------------------------------------------------------1分 （2）解：由点 M（0，5）得 AB=5,---------------------------------------------------------1分 由点 Q 点的横坐标是 8，得 AB+BC=8 时，∴BC=3------------------------1分 作 DH⊥AB 于 H，∵AD=5，DH=BC=3 ，∴AH=4， ∵AH= AB-DC，∴DC=AB-AH=5-4=1------------------------------------------1分 (3)解：情况一：点 P 在 AB 边上，作 DH⊥AB,当 PH=BH 时，△BDP 是等腰三角 形，此时，PH=BH=DC=1 ，∴x=AB-AP=5-2=3----------------------1分 情况二：点 P 在 BC 边上，当 DP=BP 时△BDP 是等腰三角形， 此时，BP=x-5，CP=8-x,∵在 Rt△DCP 中，CD2+CP2=DP2, 即221(8)(5)xx ，∴203x ----------------------------------1分 情况三：点 P 在 CD 边上时，△BDP 不可能为等腰三角形 情况四：点 P 在 AD 边上，有三种情况 1°作 BK⊥AD,当 DK=P1K 时， △BDP 为等腰三角形， 此时，∵AB=AD, ∴∠ADB＝∠ABD, 又∵AB//DC, ∴∠CDB＝∠ABD ∴∠ADB＝∠CDB,∴∠KBD＝∠CBD,∴KD =CD=1, ∴DP1=2DK=2 ∴x=AB+BC+CD+DP1=5+3+1+2=11------------------------------------1分 2°当 DP2=DB 时△BDP 为等腰三角形， 此时，x=AB+BC+CD+DP2=910-----------------------------------1分 3°当点 P 与点 A 重合时△BDP 为等腰三角形， 此时 x=0 或 14（注：只写一个就算对）------------------------------1分 28、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，90A，4MBAM，5AD，11BC，点P段BC上，点P与B、C不重合，设xBP ，MPD的面积为y （1）求梯形ABCD的面积 H P A B C D A B C D P A B C D A B C D P1 P2 K 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 （2）写出y与x的函数关系式，并指出x的取值范围 （3）x为何值时，ABCDMPDSS梯形41 M第28 题图ADBCP 密 封 线 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26．直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠D＝90°，AD=CD =4，∠B＝45°，点 E 为直线 DC上一点，联接 AE，作 EFAE 交直线 CB 于点 F． （1）若点 E 为线段 DC 上一点（与点 D、C 不重合） ， （如图 1 所示） ， ① 求证：∠DAE＝∠CEF ； ② 求证：AE=EF ； （2）联接 AF ，若△AEF 的面积为217，求线段 CE 的长( 直接写出结果，不需要过程) ． （第 26 题图 1） Ｂ Ａ Ｃ Ｆ Ｄ Ｅ （第 26 题备用图） Ｂ Ａ Ｃ Ｄ 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 解： （1）∵EFAE ∴∠DEA+∠CEF= 90°…………………………………………1 ∵∠D＝90° ∴∠DEA+∠DAE=90°…………………………………………1 ∴∠DAE＝∠CEF ………………………………………1 （2）在 DA 上截取 DG=DE，联接 EG , ………………………1 ∵AD=CD ∴AG=CE ∵∠D＝90° ∴∠DGE＝45° ∴∠AGE＝135° ∵AB∥DC，∠B＝45° ∴∠ECF ＝135° ∴∠AGE＝∠ECF ∵∠DAE＝∠CEF ∴AGEΔ≌ECFΔ …………………………………………2 ∴AE=EF …………………………………………1 (3)求出 CE=3 …………………………………………1 求出 CE=5 ………………………………………2 （第 26 题图 1） Ｂ Ａ Ｃ Ｆ Ｄ Ｅ G 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 （第27题图）PNMDCBA27．已知：如图，矩形纸片 ABCD 的边 AD=3，CD=2，点 P 是边 CD 上的一个动点（不与点 C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点 B 落在点 P 的位置上，折痕交边 AD 与点 M，折痕交边 BC 于点 N . （1）写出图中的全等三角形. 设 CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式； （2）试判断∠BMP 是否可能等于 90°. 如果可能，请求出此时 CP 的长；如果不可能，请说明理由. 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 27． （1） ⊿MBN ≌⊿MPN ………………………………1 ∵⊿MBN ≌⊿MPN ∴MB=MP, ∴22MPMB  ∵矩形 ABCD ∴AD=CD (矩形的对边相等) ∴∠A=∠D=90° (矩形四个内角都是直角) ………………………………1 ∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y ∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1 Rt⊿ABM 中， 42222yABAMMB 同理 22222)2()3(xyPDMDMP………………………………1 222)2()3(4xyy ………………………………1 ∴ 6942xxy ………………………………1 （3）90BMP ………………………………1 当90BMP时， 可证DMPABM ………………………………1 ∴ AM=CP ，AB=DM ∴ 1,32yy ………………………………1 ∴ 1,21xx ………………………………1 ∴当 CM=1 时，90BMP 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 6．如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=4，CD=9，∠C=60° ，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求 AD 的长； （2）设 CP=x，△PDQ的面积为 y，求出 y 与 x 的函数解析式，并求出函数的定义域； （3）探究：在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形？若存在，请找出点 M，并求出 BM 的长；不存在，请说明理由. 6、 （1）AD=5 (2) (0＜X≤5) （3）BM=0.5 （第 25 题图） （备用图） xxy439432形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90 A，45 C，4ADAB．E是直线AD上一点，联结BE，过点E作BEEF 交直线CD于点F．联结BF． （1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合） ， （如图 1 所示） ①求证：EFBE ． ②设xDE ，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域． （2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的 3 倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由． （第 26 题图 1） FEDCBA（第 26 题备用图） DCBA形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26． （1）① 证明：在AB上截取AEAG ，联结EG. ∴AEGAGE. 又∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°. ∴∠AGE＝45°. ∴∠BGE＝135°. ∵AD∥BC. ∴∠C＋∠D＝180°. 又∵∠C＝45°. ∴∠D＝135°. ∴∠BGE＝∠D. ……………………………………………………………………1 分 ∵ADAB，AEAG . ∴DEBG . …………………………………………………………………………1分 ∵BEEF . ∴∠BEF＝90°. 又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°， ∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°， ∠A＝90°. ∴∠ABE＝∠DEF. …………………………………………………………………1 分 ∴△BGE≌△EDF. …………………………………………………………………1分 ∴EFBE . （1）② y关于x的函数解析式为：23282xxy. ………………………………………1分 此函数的定义域为：40 x. ………………………………………………………1分 （2）存在. ………………………………………………………………………………1 分 Ⅰ当点E段AD上时，522 DE（负值舍去）. ……………………1 分 Ⅱ当点E段AD延长线上时，522 DE（负值舍去）. ………………1 分 Ⅲ当点E段DA延长线上时，5210 DE. ………………………………1 分 ∴DE的长为252、252或5210 . 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26．如图，在直角梯形 COAB 中，CB∥OA，以 O 为原点建立直角坐标系，A、C 的坐标分别为 A（10,0） 、C（0,8） ，CB=4，D 为 OA 中点，动点 P 自 A点出发沿A→B→C→O 的线路移动，速度为 1 个单位/秒，移动时间为 t 秒． （1）求 AB 的长，并求当 PD 将梯形 COAB 的周长平分时 t 的值，并指出此时点 P 在哪条边上； （2）动点 P 在从 A到 B 的移动过程中，设⊿APD 的面积为 S，试写出 S 与 t 的函数关系式，并指出 t 的取值范围； （3）几秒后线段 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1:3 的两部分？求出此时点 P 的坐标. 第26题图yxOPDCBA形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26． （1）点 B 坐标为（4,8）   108041022AB …………………………………1 分 由 28410105 t，得 t=11 …………………………………1 分 此时点 P 在 CB 上 …………………………………1 分 （2）证法一：作 OF⊥AB于 F，BE⊥OA 于 E，DH⊥AB 于 H， 则 BE=OC =8 ∵ OFABBEOA, ∴ 8BEOF, DH=4. …………1 分 ∴ ttS2421 （0≤t ≤10） …………1 分 证法二 ∵ABAPSSABDAPD，∴108521tS…………1 分 即 tS2 （0≤t ≤10） …………1 分 （3）点 P 只能在 AB或 OC 上， （ⅰ）当点 P 在 AB上时，设点 P 的坐标为（x，y） 由COABAPDSS梯形41 得 14521y，得 y=528 由 142 t，得 t=7. 由 495281022 x，得529x. 即在 7 秒时有点)535 ,545(1P；………………………………1 分 （ⅱ）当点 P 在 OC 上时，设点 P 的坐标为（0，y） 由COABOPDSS梯形41 得 14521y，得 y=528 此时 t=5216)5288(14. 即在 1652秒时，有点)535 , 0(2P.………………………………1 分 故在 7 秒时有点)535 ,545(1P、在 1652秒时，有点)535 , 0(2P使 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1:3 的两部分. ………………………………1 分 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 五、 （本大题只有 1 题，第(1)(2) 每小题 4 分，第 (3)小题 2 分，满分 10 分） 26．菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，且EAFB ． （1）如果B 60° ，求证：AEAF； （2）如果B ， （0° 90° ）(1)中的结论：AEAF是否依然成立，请说明理由； （3）如果 AB 长为 5，菱形 ABCD 面积为 20，设BEx，AEy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． FDABCE形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26．(1)联结对角线 AC， ……………………………………………（1 分） 在菱形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，BD   60° ， ∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，………………………………（1 分） ∴AB=AC, BAC60° ，ACD60° ． ∵EAF60° ，∴FAC60°EAC． 又∵BAE60°EAC，∴FACBAE．…………………（1 分） 又∵BACD  ，AB=AC, ∴△ABE≌△ACF，∴AEAF．…………………………………（1 分） (2)过点 A点作 AG⊥BC，作 AH⊥CD，垂足分别为 G，H，……（1 分） 则 AG=AH． 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，∴EAFB  180°C， 又∵GAH360°AGCAHCC 180°C， ∴GAHEAF．…………………………………………………（1 分） ∴GAEHAF ．…………………………………………………（1 分） 又∵AGEAHF ，AG=AH, ∴△AGE≌△AHF，∴AEAF．…………………………………（1 分） (3) 作法同（2） ，由面积公式可得，AG = 4, 在 Rt△AGB 中，222BGAGAB， ∴BG = 3, 3EGx ， 在 Rt△AGE 中，222AGEGAE，即2224(3)xy． 2625yxx (15)x  ……………………………………（2 分） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 25.（本题满分 8 分，第（1）小题 2 分；第（2）小题各 3 分；第（3）小题 3 分） 已知：如图 7. 四边形ABCD是菱形，6AB，60MANB. 绕顶点A逆时针旋转MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合） ，边AN与射线CD相交于点F. （1）当点E段BC上时，求证：CFBE ； （2）设xBE ，ADF△的面积为y. 当点E段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域； （3）联结BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长. A M N D C B E F （图 7） A D C B （备用图） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 25.解： （1）联结AC（如图1）. 由四边形ABCD是菱形，60B，易得： BCBA，60DACBAC, 60ACDACB. ∴ABC△是等边三角形. ∴ACAB. …………………………1 分 又∵60MACBAE， 60MACCAF， ∴ CAFBAE. …………1 分 在ABE△和ACF△中， ∵CAFBAE，ACAB，ACFB， ∴ABE△≌ACF△（A.S.A）. ∴CFBE .………………………………1 分 （2）过点A作CDAH ，垂足为H（如图 2） 在ADH△Rt中，60D，306090DAH， ∴362121 ADDH. 33362222DHADAH. ………………1 分 又xBECF，xDF 6， ∴)33()6(21xy， 即 39233xy（60x）. ……2 分 （3）如图 3，联结BD，易得 3021ADCADB. 当四边形BDFA是平行四边形时，AF∥BD. ∴ 30ADCFAD. …………………………1 分 ∴303060DAE，9030120BAE. 在ABE△Rt中，60B，30BEA，6AB. 易得：12622 ABBE.…………………………1 分 A M N D C B E F （第 25 题图 1） A M N D C B E F （第 25 题图 2） H A M N D C B E F （第 25 题图 3） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 27．解： （1）在正方形 ABCD 中，BC = CD，∠BCD =∠DCE = 90° ．……………（1 分） ∵ BF⊥DE，∴ ∠GFD = 90° ． 即得 ∠BGC =∠DEC，∠GAC =∠EDC．…………………………（1 分） 在△BCG 和△DCE 中， ,,,GBCEDCBCDCBGCEDC   ∴ △BCG≌△DCE（A．S．A） ．…………………………………（1 分） ∴ GC = EC． 即得 ∠CEG = 45° ．…………………………………………………（1 分） （2）在 Rt△BCG 中，BC = 4，2 5BG ， 利用勾股定理，得 CG = 2． ∴ CE = 2，DG = 2，即得 BE = 6．………………………………（1 分） ∴ A E GA B EA D GABEDSSSSS四边形 11114646424222222         （） = 2．…………………………………………………………（2 分） （3）由 AM⊥BF，BF⊥DE，易得 AM // DE． 于是，由 AD // BC，可知四边形 AMED 是平行四边形． ∴ AD = ME = 4． 由 CE = x，得 MC = 4 -x． ∴ 1144421622AMCDySADMCCDxx   梯形（）（）． 即 21 6yx ．……………………………………………………（2 分） 定义域为 0 < x≤4．………………………………………………… （1 分） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 x y y=x A Q P O 25、 （本题 8 分）已知直角坐标平面上点 A0 , 2，P 是函数0 xxy图像上一点，PQ⊥AP 交 y 轴正半轴于点 Q（如图）. （1）试证明：AP=PQ； （2） 设点 P 的横坐标为 a， 点 Q 的纵坐标为 b， 那么 b 关于 a 的函数关系式是_______； （3）当APQAOQSS32时，求点 P 的坐标. 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 25、证： （1）过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 H、T， ∵点 P 在函数xy 0x的图像上， ∴PH=PT，PH⊥PT，---------------------------------------------------（1 分） 又∵AP⊥PQ， ∴∠APH =∠QPT，又∠PHA = ∠PTQ， ∴⊿PHA≌⊿PTQ, ------------------------------------------------------（1 分） ∴AP=PQ. ---------------------------------------------------------------（1 分） (2)22  ab. -------------------------------------------------------------（2 分） （3）由（1） 、 （2）知，2221aOQOASAOQ， 222122aaAPSAPQ，------------（1 分） ∴2232222aaa， 解得255a，--------------------------------------------------------（1 分） 所以点 P 的坐标是255,255与255,255. --- （1 分） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 x y y=x A Q P O 25、 （本题 8 分）已知直角坐标平面上点 A0 , 2，P 是函数0 xxy图像上一点，PQ⊥AP 交 y 轴正半轴于点 Q（如图）. （1）试证明：AP=PQ； （2） 设点 P 的横坐标为 a， 点 Q 的纵坐标为 b， 那么 b 关于 a 的函数关系式是_______； （3）当APQAOQSS32时，求点 P 的坐标. ] 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 25、证： （1）过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 H、T， ∵点 P 在函数xy 0x的图像上， ∴PH=PT，PH⊥PT，---------------------------------------------------（1 分） 又∵AP⊥PQ， ∴∠APH =∠QPT，又∠PHA = ∠PTQ， ∴⊿PHA≌⊿PTQ, ------------------------------------------------------（1 分） ∴AP=PQ. ---------------------------------------------------------------（1 分） (2)22  ab. -------------------------------------------------------------（2 分） （3）由（1） 、 （2）知，2221aOQOASAOQ， 222122aaAPSAPQ，------------（1 分） ∴2232222aaa， 解得255a，--------------------------------------------------------（1 分） 所以点 P 的坐标是255,255与255,255. --- （1 分） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26． （本题满分 10 分） 已知：在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，四边形 EFGH 的三个顶点 E、F、H 分别在 矩形 ABCD 边 AB、BC、DA 上，AE=2. （1）如图①，当四边形 EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； （5 分） （2）如图②，当四边形 EFGH 为菱形，且 BF = a 时，求△GFC 的面积（用含 a 的代数式表示 ） ；（5分） D C A B E (第 26 题图 1) F H G D C A B E (第 26 题图 2) F H G 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关学习必备 欢迎下载 26．解： （1）如图①，过点 G 作GMBC于 M. …………………………………………（1分） 在正方形 EFGH 中， 9 0 ,H E FE HE F. …………………………………………………………（1分） 90.90 ,.AEHBEFAEHAHEAHEBEF    又∵90AB   ， ∴⊿AHE≌⊿BEF …………………………………………………………（1分） 同理可证： ⊿MFG≌⊿BEF. …………………………………………………………（1 分） ∴GM=BF=AE =2. ∴FC=BC-BF=10. …………………………………………………………（1分 ） （ 2 ） 如 图 ② ， 过 点G作GMBC于M. 连 接HF. …………………………………………（1 分） //,.//,.ADBCAHFMFHEHFGEHFGFH   .AHEMFG  ………………………………………………… （1分） 又90 ,,AGMFEHGF   ∴⊿AHE≌⊿MFG. ………………………………………………………（1分） ∴GM=AE=2. ……………………………………………………………（1分） 11(12)12.22GFCSFC GMaa …………………………………………（1分） 形中分又分同理可证分分如图过点作于连接分分分分分又学习必备欢迎分别作轴于轴于设运动秒时矩形与重叠部分的面积为求与之间的函数关正半轴于点如图试证明设点的横坐标为点的纵坐标为那么关于的函数关。