高等数学(同济大学版)课程讲解18函数的连续性与间断点.doc

课时授课计划课次序号：06一、 课 题：§1.8函数的连续性与间断点二、 课 型：新授课三、 目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；2. 会判定函数间断点的类型；四、 教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.教学难点：间断点类型的判定.五、 教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合.六、 参考资料：1・《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育岀版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社.七、 作业：习题1-8 2 (1), 3八、授课记录:授课日期班 次九、授课效果分析:第八节函数的连续性与间断点复习1•极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2. 两个重要极限：lim竺兰=1, lim(l + -)r =e 或 lim(l + x)7 =e；X—>0 X 大T8 兀 大一>03. 无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶；4. 等价无穷小替换求极限的方法.前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等，在实际问题中，我 们遇到的函数常常具有另一类重要特征，如运动着的质点，其位移s是吋间t的函数，吋间 产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离(从其运动轨迹來看是一条连绵不断的曲 线)，函数的这种特征我们称之为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间 断.下面我们将利用极限来严格表述这个概念.一、函数的连续性1・函数在一点连续定义1 设函数f(x)在也的某邻域U Go)内有定义，且有lim /(x) = /(x0),则称函数/ (Q在点也连续,兀0称为函数上(兀)的连续点・例1 证明函数/ (x) =3x2-1在x=l处连续.证 因为/(I) =3x1—1=2,且lim/(x) = lim(3x2 -1) = 2 ,故函数/(x) =3x2-l 在x=lxtI xtI处连续.例2 证明函数)才&) =1兀丨在r=0处连续.证因为y=f(X)= I X丨在40的邻域内有定义，且f (0) =0,lim/(X)= lim x = lim \[x^ = 0.xtOxtO兀tO由定义1可知，函数J-/' (x) = I x丨在天=0处连续.在工程技术中常用增量来描述变量的改变量.设变量«从它的一个初值妁变到终值地，终值血与初值妁的差u2-u｝称为变量”的增 量，记为△“，艮卩△u="2-变量的增量可能为正，可能为负，还可能为零.设函数/&)在”(如)内有定义，若Xet/(x0),则△jm—M)称为自变量兀在虽Q強 的壇量.显然,x=x()+Axf此时，函数值相应地由f (%o)变到f (x),于是\y=f (x) -f (xo)=f(Xo+Ax)~f &o)称为函数f (x)在点xo处相应于自变量增量Ax的增量.函数f (x)在点Xo处的连续性可等价地通过函数的增量与自变量的增量关系来描述.定义2 设函数/(X)在"(x。

)内有定义，如果当自变量的增量心趋于零时，相应的函数的增量△尸/ (也+心)~f (兀0)也趋于零，即lim Ay = 0 ,则称函数f (x)在点x0 AytO处连续.2.左右连续(单侧连续)我们曾讨论过xtxo吋函数的左右极限，对于函数的连续性可作类似的讨论.定义3 设函数f (x)在U(x~)(或(/«))内有定义，且有lim /(x) = f(xQ)(或 lim f(x) = /(x0)),XT心 XT心则称函数/(x)在点也是左(右)连续的.函数在点兀0的左、右连续性统称为函数的单侧连续性.由函数的极限与其左、右极限的关系，容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系.定理1 /(X)在点也连续的充要条件是.f(X)在点心左连续且右连续.[r2 4-3 r > 0例3设函数f(x) = ~ ，问为何值时，函数)h(Q在点小0处连续？[Q - X, X V 0解 因为 f(0) =3,且 lim /(x) = lim(a-x) = a , lim f(x) = lim(x2 + 3) = 3,xt(f xt(f x-»o+ x->o+故由定理1知d=3时，)才(x)在点a-=0处连续.—1,兀 v 0,例4设函数/(%) = {' 试问在也=0处函数/(兀)是否连续？l,x> 0,解 由于/(0) =1,而lim /(%) = -1,于是函数f(x)在点小0不是左连续的，从而xt(t函数/(%)在*0处不连续.3. 区间上连续定义4若函数y=f{x)在区间(a, b)内任一点均连续，则称函数(兀)在区间(G 必内连续,记为/(x) ec (d, b).若函数)=f (兀)不仅在(G b)内连续，且在d点右 连续，在b点左连续，则称)h&)在闭区间B，刃 上连续，记为/(x) ec [q,刃. 半开半闭区间上的连续性可类似定义.函数尸/(X)在其连续区间上的图形是一条连绵不断 的曲线.例5 证明函数)=3<_5x+3在(yc, +8)内连续.证 设卫)为(Y), +8)内任意给定的点，由极限运算法则可知lim y= lim f(x)= lim(3x2 -5x + 3) = 3x0 -5x0 +3 = /(x0),X—>X0 XTX。

故)=3,_5x+3在点xo处连续.rflxo的任意性-町知，)=3,-5兀+3在(-8, 4-x)内连续.二、函数的间断点1・间断点的定义定义5设在也的任何邻域内总有异于也而属于函数/Cv）的定义域的点，而/（x） 在対处不连续，则称兀（）是函数f（X）的一个间断点.Qin x例6考虑函数尸二^在厂0处的连续性.x解由于lim竺兰=1,但在小0处，函数j =— 无定义，故y二竺兰在厂0处不XTO X X Xsin兀 八 X H 0连续.若补充定义函数值/（0） =1,则函数f（x） = < X ' '在心0处连续.1, x = 0[2x,兀 H 0,例7讨论函数y =]]无―在点厂0处的连续性.由于limy = lim2x = 0 ,而 yxtO • .vtO由定义知函数y在点x=0处不连续.若2兀，兀工0,修改函数y在*0的定义，令/（0） =0,则函数f（x） = { 在点x=0处连续（见图[0,x = 01一36）・图 1-362 •间断点的分类若lim y（x）存在，且lim /（x） = A ,而函数冃（x）在点xo处无定义，或者虽然有定 X—>.V0 XT 勺义，但f（XO）朴、则点丸是函数y=S （x）的一个间断点，称此类间断点为函数的可去I'可断 点.此时，若补充或改变函数y^=f （x）在点兀0处的值为/（也）=A，则可得到一个在点Xo处 连续的函数，这也是为什么把这类间断点称为可去间断点的原因.1 n例8讨论函数y = /（x）= < 兀‘ ‘在点x=0处的连续性.0, x = 0解 由于 lim arctan — = — , lim arctan —=,心0+ x 2 go- x 2函数）泓兀）在点40处的左右极限存在但不相等，故冃（X）在40处不连续.此时不论如何 改变函数在点*0处的函数值，均不能使函数在这点连续（见图1-37）.若函数）才兀）在点兀。

处的左、右极限均存在，但不相等，则点X0为/（X）的间断点，且 称这样的间断点为跳跃间断点.函数的可去I'可断点与跳跃间断点统称为第一类间断点•在第一类间断点处，函数的左右 极限均存在.凡不属于第一类间断点的间断点，我们统称为第二类间断点，在第二类间断点处，函数 的左、右极限中至少有一个不存在.在点厂0处的连续性.解 由于lim- = oo,故函数在点A=0处间断（见图1-38）.2° %若函数）^=f （x）在点兀0处的左、右极限中至少有一个为无穷大，则称点廊为尸/（兀） 的无穷间断点..1 n例10讨论函数y彳 7 '在x=0处的连续性.0, x = 0解 由于limsin丄不存在，随着x趋近于零，函数值在-1与1之间来冋振荡，故函数 XT0 X在点40处间断（见图1-39）.若函数尸才（兀）在兀一＞心时呈振荡无极限状态，则称点心为函数y=f （x）的振荡间断 点.无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点.图 1-39课堂总结L连续的定义：lim f(x) = /(x0),三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类(无穷型、振荡型).。