模拟滤波器的设计数字信号处理.ppt

第七章  模拟滤波器的设计 滤波滤波就是把一个混合信号的某些分量分离出来或把它去掉自然滤波（地震波）人工滤波：由仪器或运算来完成滤波器是一种选频装置，它只允许一定频带范围的信号通过，同时极大地衰减其它频率成分 要分离有用信号s(t)与干扰信号n(t),若上述二信号的频率上是分离的，若存在一个     这样n(t)被滤去，仅存下有用信号s(t)  为了获取有用信号，通常采用以下理想滤波器  图7.2.1  各种理想滤波器的幅频特性 A1(f)01f fCA2(f)01ffCA3(f)01ffC1 fC2A4(f)01ffC1fC2a) 低通低通b ) 高通高通c) 带通带通d) 带阻带阻根据滤波器的选频特性q 低通滤波器(LP)：通频带0~fcq 高通滤波器(HP)：通频带fC~q 带通滤波器(BP)：通频带fC1~fC2q 带阻滤波器(BS)：通频带0~fC1与fC2~（阻带: fC1 ~fC2） 滤波器的种类滤波器的种类7.1 理想滤波器理想滤波器A0|H(f)|fc-fc0f|H(f)|fc-fc0f2p pt0理想低通滤波器理想低通滤波器频率特性频率特性 无过渡带且在通频带内满足不失真测试条件的滤波器称为理想滤波器。

理想滤波器的频率响应函数为： 2、理想低通滤波器的冲击响应、理想低通滤波器的冲击响应δ(t)y(t)h(t)H(f)Y(f)D D(f)=1理想滤波器的脉冲响应函数为理想滤波器的脉冲响应函数为sinc函数，若无相角滞后函数，若无相角滞后（（t t0 0=0=0）：）： 亦即：亦即：对上述的频率响应函数做傅氏逆变换：对上述的频率响应函数做傅氏逆变换：h(t)2A0fc0th(t)0tt0cf21cf21- -cf1cf1- -tb) 理想低通滤波器脉冲响应函数理想低通滤波器脉冲响应函数A0|H(f)|fc-fc0f|H(f)|fc-fc0f2p pt0a) 理想低通滤波器频率特性理想低通滤波器频率特性2A0fc (t)0t0th (t)在输入在输入 ( (t) )到来以前，到来以前，即即t <0<0时，滤波器即有时，滤波器即有了与输入相对应的输了与输入相对应的输出，显然，这出，显然，这违背了违背了因果关系因果关系，任何现实，任何现实系统都不可能具有这系统都不可能具有这种预知未来的能力种预知未来的能力 输入输入响应响应 同样，理想高通、带通、带阻滤波器也是不存在的。

同样，理想高通、带通、带阻滤波器也是不存在的实际滤波器的频域图形不可能出现实际滤波器的频域图形不可能出现直角锐变直角锐变，也不会在有，也不会在有限频率上完全截止理论上，实际滤波器的频域图形将延限频率上完全截止理论上，实际滤波器的频域图形将延伸至伸至 f 即滤波器只能对通带以外的频率成分极大地滤波器只能对通带以外的频率成分极大地衰减而不能完全阻止其通过衰减而不能完全阻止其通过 A1(f)01f fCA2(f)01ffCA3(f)01ffC1 fC2A4(f)01ffC1fC2a) 低通低通b ) 高通高通c) 带通带通d) 带阻带阻 理想滤波器的阶跃响应理想滤波器的阶跃响应单位阶跃输入单位阶跃输入 滤波器的阶跃响应：滤波器的阶跃响应：  若不考虑前、后皱波，输出从若不考虑前、后皱波，输出从0(a点点) )到应有的稳定值到应有的稳定值A0( (b点点) )之间的所需之间的所需建立时间建立时间为：为： 建立时间建立时间•低通滤波器对阶跃响应的低通滤波器对阶跃响应的上升时间上升时间tr与带宽与带宽B成反比成反比，即：，即： Btr = = 常数常数 该结论对高通、带通及带阻滤波器均成立。

该结论对高通、带通及带阻滤波器均成立•滤波器带宽表示其频率分辨力滤波器带宽表示其频率分辨力，通带越窄，分辨力越高，，通带越窄，分辨力越高，显然，显然，高分辨力高分辨力( (B值小值小) )与响应速度是互相矛盾的如果要与响应速度是互相矛盾的如果要用滤波的方法从信号中提取某一很窄的频率成分（如作谱分用滤波的方法从信号中提取某一很窄的频率成分（如作谱分析），必须有足够的时间析），必须有足够的时间 dd A(f )A00.7A00 实际实际 fC1fC 2f0f1、实际滤波器的基本参数、实际滤波器的基本参数 •理想带通滤波器理想带通滤波器（（红色红色）与实际带）与实际带通滤波器（通滤波器（蓝色蓝色））的幅频特性的幅频特性•对于实际的滤波器对于实际的滤波器需要更多的参数对需要更多的参数对其进行描述其进行描述7.2 实际滤波器参数实际滤波器参数理想理想①① 截止频率截止频率fc 幅频特性等幅频特性等于所对应的频率于所对应的频率以以A0为参考点，为参考点，对应于对应于-3dB点，点，即相对于即相对于A0衰减衰减3dB若以信号若以信号幅值的平方表示幅值的平方表示信号功率则信号功率则-3dB点对应点对应半功率点半功率点。

ddA(f )A00.7A00实际实际 fC1fC 2f0f下截止下截止上截止上截止理想理想上下两截止频率之上下两截止频率之间的频率范围称为间的频率范围称为滤波器带宽或滤波器带宽或-3dB带宽带宽带宽B决定频决定频率分辨力率分辨力②② 带宽带宽BddA(f )A00.7A00实际实际fC1fC 2f0fB下截止下截止上截止上截止理想理想③ ③ 矩形系数（滤波器矩形系数（滤波器因数）因数）  滤波器选择性的滤波器选择性的一种表示法是倍频程一种表示法是倍频程选择性，另一种表示选择性，另一种表示法就是用法就是用矩形系数矩形系数用滤波器幅频特性的用滤波器幅频特性的- -60dB60dB带宽与带宽与-3dB-3dB带宽带宽的比值表示的比值表示 ddA(f )A00.7A00实际实际fC1 fC 2f0fB-3dBB-60dB除了用上述的截止频率、带宽除了用上述的截止频率、带宽B B、矩形系数做为描述滤波器、矩形系数做为描述滤波器的性能的参数外，还有以下几个参数：的性能的参数外，还有以下几个参数：Ø 纹波幅度纹波幅度dØ 品质因素品质因素Q Ø 倍频程选择性倍频程选择性W中心频率中心频率fn的概念：的概念：算术平均：算术平均：几何平均：几何平均：如如倍频程滤波器倍频程滤波器 ck为H(s)的零点， dk为H(s)的极点，若考虑处的零极点，则零极点数相等  模拟滤波器的系统函数模拟滤波器的系统函数    模拟滤波器的设计方法就是寻找一个可以实现的系统在一定的误差范围内逼近理想的滤波器特性。

    设滤波器的系统函数可表示为：         零极点配置规律：（1）零极点必须是实数或共轭成对出现（2）对于因果系统，极点应分布在S左半平面5.4   .模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法             模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示对于单调下降的幅度特性，可表示成：(7.2.1) (7.2.2)              如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为            以上技术指标用图表示图中Ωc称为3dB截止频率，因 (7.2.3) (7.2.4) 图7.2.2  低通滤波器的幅度特性            滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(7.2.5)         模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

 7.5     巴特沃斯低通滤波器的设计方法            巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：(7.2.6)   图7.2.3   巴特沃斯幅度特性和N的关系        将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数： (7.2.7)       此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：(7.2.8) 图7.2.4    三阶巴特沃斯滤波器极点分布            为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s) Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：             由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为     式中，s/Ωc=jΩ/Ωc             令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(7.2.10) (7.2.11)             式中，pk为归一化极点，用下式表示：            将极点表示式(7.2.12)代入(7.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： (7.2.12)        将Ω=Ωs代入(7.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(7.2.4)式中，得到：(7.2.14) (7.2.15)      由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：令,则N由下式表示： (7.2.16)             用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。

关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(7.2.14)式或(7.2.15)式求出，由(7.2.14)式得到： 由(7.2.15)式得到： (7.2.17)(7.2.18)            总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：           (1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(7.2.16)式求出滤波器的阶数N           (2)按照(7.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(7.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)             (3)将Ha(p)去归一化将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s) 表7.2.1  巴特沃斯归一化低通滤波器参数              例7.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz， 阻 带 最 小 衰 减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器             解 (1) 确定阶数N           (2)  按照(7.2.12)式，其极点为按照(7.2.11)式，归一化传输函数为            上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。

这里不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：            极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;       式             b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4           (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc           按照(7.2.17)式，得到：将Ωc代入(7.2.18)式，得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：7.6 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计 我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法图分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性其幅度平方函数用A2(Ω)表示： (7.2.19) 图7.2.5  切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性             式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大Ωp称为通带截止频率令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2  - 1-；当N=3时，C3(x)=4x 3  - 3x。

由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为        C N+1 (x)=2xCN(x)  -  C N-1 (x)                                (7.2.20) 图7.2.6  N=0,4,5切比雪夫多项式曲线     图示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性     由图可见：      (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；      (2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；      (3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升             按照(7.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp和N有关其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示： (7.2.21) 因此  (7.2.22)    图7.2.7  切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线            设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)用(7.2.19)式确定： (7.2.23) 令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(7.2.24) (7.2.25)可以解出    3dB截止频率用Ωc表示，按照(7.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： (7.2.26)             以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。

求解的过程请参考有关资料下面仅介绍一些有用的结果          设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明： (7.2.23) 令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(7.2.24) (7.2.25)   上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：(7.2.26) 设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：(7.2.27) 式中 (7.2.28)              (7.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (7.2.29) (7.2.30) (7.2.31) 图7.2.8  三阶切比雪夫滤波器的极点分布            设N=3，平方幅度函数的极点分布如图所示(极点用X表示)为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(7.2.32)        式中c是待定系数根据幅度平方函数(7.2.19)式可导出：c=ε·2 N-1，代入(7.2.32)式，得到归一化的传输函数为(7.2.33a)   按照以上分析，下面介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤             1) 确定技术要求αp,Ωp,αs和Ωs            αp是Ω=Ωp时的衰减系数，αs是Ω=Ωs时的衰减系数，它们为 去归一化后的传输函数为(7.2.33b) (7.2.34) (7.2.35)             这里αp就是前面定义的通带波纹δ，见(7.2.21)式。

归一化频率             2) 求滤波器阶数N和参数ε             由(7.2.19)式，得到：        将以上两式代入(7.2.34)式和(7.2.35)式，得到： 令 (7.2.36) (7.2.37)            这样，先由(7.2.36)式求出k-11，代入(7.2.37)式，求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数            按照(7.2.22)式求ε，这里αp=δ                     ε+2=10 1             3) 求归一化传输函数Ha(p)            为求Ha(p)，先按照(7.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N   将极点pk代入(7.2.33)式，得到： 4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即 (7.2.38) (7.2.39)              例设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB              解             (1) 滤波器的技术要求：      (2) 求阶数N和ε：      (3) 求Ha(p):由(7.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：        (4)将Ha(p)去归一化，得到：             4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计            为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：            1) 低通到高通的频率变换            λ和η之间的关系为             上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：(7.2.41) (7.2.40) 图7.2.9   低通与高通滤波器的幅度特性            模拟高通滤波器的设计步骤如下：            (1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p，阻带上限频率Ω′s，通带最大衰减αp，阻带最小衰减αs。

            (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(7.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：            ①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p；            ②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s；            ③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs            (3)设计归一化低通滤波器G(p)            (4)求模拟高通的H(s)将G(p)按照(7.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc代入H(q)中，得             例7.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB7.2.42)      解     ①高通技术要求：                  fp=200Hz,αp=3dB;                  fs=100Hz,αs=15dB     归一化频率②低通技术要求：      ③ 设计归一化低通G(p)采用巴特沃斯滤波器，故        ④ 求模拟高通H(s)：         2) 低通到带通的频率变换        低通与带通滤波器的幅度特性如图所示。

 图7.2.10  带通与低通滤波器的幅度特性           表7.2.2  η与λ的对应关系     由η与λ的对应关系，得到：由表知λp对应ηu，代入上式中，有         (7.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率下面推导由归一化低通到带通的转换公式由于     将(7.2.43)式代入上式，得到：将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(7.2.44) (7.2.45)上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式下面总结模拟带通的设计步骤1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl下阻带上限频率Ω s1 ,上阻带下限频率Ω s2 通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=ΩuΩl与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：             (2) 确定归一化低通技术要求：             λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求               通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。

               (3) 设计归一化低通G(p)               (4) 由(7.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)              例7.2.4  设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB              解 (1) 模拟带通的技术要求：           Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dB          Ω s1 =2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dB           B=2π×200rad/s;          η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6            (2) 模拟归一化低通技术要求：              取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB              (3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：              采用巴特沃斯型，有            取N=3，查表，得(4)  求模拟带通H(s)：          3)  低通到带阻的频率变换         低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示。

 图7.2.11  低通与带阻滤波器的幅频特性             图中，Ωl和Ωu分别是下通带截止频率和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω20=ΩuΩl，阻带带宽B=ΩuΩl，B作为归一化参考频率相应的归一化边界频率为           ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;           η20=ηuηl         表7.2.3  η与λ的对应关系            根据η与λ的对应关系，可得到：            且ηuηl=1，λp=1，(7.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式将(7.2.46)式代入p=jλ，并去归一化，可得            上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式 (7.2.46) (7.2.47) (7.2.48) 下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率Ωl,上通带截止频率Ωu阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2阻带中心频率Ω+20=ΩuΩl，阻带宽度B=ΩuΩl它们相应的归一化边界频率为            ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;            ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通带最大衰减αp和阻带最小衰减αs。

               (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即：              取λs和λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减为αp，阻带最小衰减为αs            (3) 设计归一化模拟低通G(p)              (4) 按照(7.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)            例7.2.5  设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：   Ωl=2π×905rad/s, Ωs1=2π×980rad/s,   Ωs2= 2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,     αs=25dB试设计巴特沃斯带阻滤波器            解            (1) 模拟带阻滤波器的技术要求：            Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;            Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;         Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=ΩuΩl=2π×200;           ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;          ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;          η20=ηlηu=25           (2)  归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p):  (4)  带阻滤波器的H(s)为。