高考备考专题——四面体.doc

鳖購:一、 史料《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为 鳖購阳马居二，鳖月需居一，不易之率也合两鳖騰三而一，验之以棊，其形露 矣二、 阐释阳马和鳖購是我国古代对一些特殊椎体的称谓，取一长方体，斜割一分为二, 得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个以矩形为底, 另有一棱与底面乖直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组 成的四面体，称为鳖購三、性质1 •垂直关系如图，鳖購几何体P-ABC中，PA丄平面ABC, AC丄CB, 丄PB于点M,AN A.PC 于点、N . 则：(1) BC丄平面PAC；(2) 丄平而4MN；(3) 平面PBC丄平面(4) PB 丄 MN .2.空间角记&为ZPBC, 0为ZABC, 0为PB与底面BABC所成的角(ZPBA),卩为二面角A-PB-C的平面角，p为直线AB与平面PBC所成的角，°为直线PC与底而4BC所成的角，血为直线PC与平而PAB所成的角则:(1) cos a = cos p cos 0 ；心、. cos©(2) sin / = ；cos3) sin p = sin ©sin /3 ；(4) sin 0 = sin ©sin a ；/ l、 sin B(5) tana = •sin 69正四面体:一、来源在正方体中蕴含了两个相同的正四面体，各占去正方体八个顶点中的四个 （如图）。

二、 定义四个面都是全等的正三角形的四面体称为正四面体.三、 性质设正四面体的棱长为Q,高为方，全面积为S,体积为V,相邻两面的二面 角为内切球半径为厂，外接球半径为/?,贝9：⑴g*,正四而体的中心把高分为心的两部分;(2) S = y[3a2；(4) cos a-—.3sin4（5）厂怡(6)（7） 对棱中点连线段的长为返-2（8） 正四面体和他所在的正方体内接于同一个球，且球的盲径为正方体的体对 角线；（9） 两条高的夹角的正弦值为丄；3（10） 侧棱与底面的夹角的余弦值为《■；3（11） 对棱互相垂直；（12） 止四面体内任意一点到四个面的距离的和为该四面体的高.直角四面体:一、来源将长方体的一个角切下来，就是一个直角四而体（如图）二、定义有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体.三、性质如I 图， 设直角四面体 P— A B , ZAPC = ZBPC = ZAPB = 90° ,PA = a,PB = b,PC = c, P到底面ABC的距离PH长为力，贝山（1） MBC是锐角三角形；（2） 顶点P在底面上的射影H是AABC 的垂心；(3) V=-abc；6（4）底面面积S\ABC（5）\BHC（直角三角形射影定理在立体几何中的推广）;⑹（（勾股定理在立体几何中的推广人（7） -^=4+4+4 （利用等积变换）；PH2 a2 h2 c2（8） 外接球半径R二丄J/*方2+（2 ；2（9） 内切球半径S'BPC + S^pb + —G + /? + Cabcab + be + qc + \Ja2b2 +b2c2 +c2<72（10） 三个侧面两两垂直；（11） 对棱相互垂直；（12） 对棱中点连线的长等于外接球半径（13） cos2a + cos2[3+cos2 y = 1 （其中分别是侧面与底面所成的二面角的平面角或高与侧棱所成的角）。