高数 第1章 极限计算方法总结.doc

极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；等定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明2．极限运算法则定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且（1）（2）（3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用3．两个重要极限（1） （2） ； 说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式 （2）一定注意两个重要极限成立的条件 例如：，，；等等4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～ 说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时， ～ ； ～ 定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于。

5．连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 求极限的一个方法6．极限存在准则 定理6（准则1） 单调有界数列必有极限 定理7（准则2） 已知为三个数列，且满足：（1） （2） ， 则极限一定存在，且极限值也是a ，即二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 解：原式= 注：本题也可以用洛比达法则例2 解：原式= 例3 解：原式 2． 利用函数的连续性（定理6）求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 3． 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例6 解：原式= 例7 解：原式= 4． 利用定理2求极限例8 解：原式=0 （定理2的结果）5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 解：～，～， 原式= 例10 解：原式= 注：下面的解法是错误的： 原式= 正如下面例题解法错误一样： 例11 解：， 所以， 原式= 最后一步用到定理2）5． 利用极限存在准则求极限例20 已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。

对已知的递推公式 两边求极限，得： ，解得：或（不合题意，舍去）所以 例21 解： 易见：因为 ，所以由准则2得： 上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。