数学竞赛试题及答案.docx

    数学竞赛试题及答案    数 学 竞 赛 试 题系别___________ 班 级__________ 学号___________ 姓名__________考场___________考号___________一、（20分）计算:(1)已知nx n +++++++++= (211)...2111111,求n n x ∞→lim (6分)解:因为()()12212211...211+-=+=+=+++n n n n n n n ,所以.121211122...42323222211+-++=??? ??+-++??? ??-+??? ??-++=n n n x n 所以25lim =∞→n n x (2) 求极限nn n n n n)12)...(1(1lim -+∞→(8分)解:ee eeee e n n n n dxx n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn 4lim lim lim lim )12)...(1(1lim 1)1ln()11ln(...)11ln()01ln(1lim )11ln(...)11ln()01ln(112ln ...1ln ln 1))12)...(1(ln())12)...(1(1ln(=?======-++?????-++++++?????-++++++∞→?????-++++∞→-+∞→-+∞→∞→∞→(3)求不定积分dx x x ?+4351(6分)解:()()()()Cx x x d x x d x x d x x d x x x d x x dx x x ++-+=??????++-++=????????++-+++=++-+=+??????-43347334133433343343334334351941214)1(1)1(131)1(11)1(1131)1(111311二、（10分）设一袋中装有10个球,其中4个红球、3个白球、3个黑球，这些球除颜色不同外，其他完全一样，现有一个从袋中无放回摸球，每次摸一个，直到某各颜色的球都出现为止。

如果4个红球都出现，则一等奖，奖金8960元；如果3个白球都出现，则获二等奖，奖金427元；如果3个黑球都出现，则获三等奖，奖金3.15元，以X 表示该人获得奖金数，求X 的分布律和平均获得的奖金数 解：用A 表示红球，B 表示白球，C 表示黑球，红球、白球、黑球都出现的概率分别用P 1、P 2、P 3表示，用ξ表示4个红球都出现时的摸球次数，则有P{ξ=4}=210463718293104)(14121412=????=C C AAABA P C C ， P{ξ=5}=210463718293104)(14121412=????=C C AAABA P C C ， 210184352632101)()6(142612142612=???===C C C AAABBCA P C C C P ζ， 210105363210152632101)()()6(1415251214152512=??+??=+==C C C C AAABCA P C C AAABBA P C C P ζ 210184352632101)()7(142612142612=???===C C C AAABBCA P C C C P ζ 21021324352632101)()8(25272527=????===C C AAABBCCA P C C P ζ 故4个红球都出现的概率为359210212101821010210421011=++++=P 而3个白球都出现与3个黑球都出现的概率相等,其值为3513)3591(2132=-==P P故X 的分布律为X 8960 427 3.15 P 9/35 13/35 13/35平均获奖数为77.2463351315.335134273598960)(=?+?+?=X E三、（10分）已知线性方程组?????=++=++=++00322212321321x c x b x a cx bx ax x x x (1) c b a ,,满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) c b a ,,满足何种关系时,方程组有无穷多组解,并用基础解系表示全部解. 解:系数行列式为))()((111222a c c b b a c b a c b a D ---==(1)当a c c b b a ≠≠≠,,时,方程组仅有零解; (2)下面分四种情况讨论:①当b c a ≠=时, 同解方程组为???==++003321x x x x 方程组有无穷多组解,全部解为:)()0,1,1(11为任意常数k k T -②当c b a ≠=时, 同解方程组为???==++002321x x x x 方程组有无穷多组解,全部解为:)()1,0,1(22为任意常数k k T -③当a b c ≠=时, 同解方程组为???==++001321x x x x 方程组有无穷多组解,全部解为:)()1,1,0(33为任意常数k k T -④当a b c ==时, 同解方程组为0321=++x x x 方程组有无穷多组解,全部解为:),()1,0,1()0,1,1(5454为任意常数k k k k TT -+-四、（10分）已知T T T T b a ]4,,10,3[,],1,1,0[,]3,1,7,2[,]2,0,4,1[321=-===βααα,问:(1) b a ,取何值时, β不能由321,,ααα线性表示? (2) b a ,取何值时, β可由321,,ααα线性表示?并写出此表示式.解:因为????????????----→????????????-----→????????????-200001002110302121011021103021432110101743021b a a b ab 所以(1)当2≠b 时,线性方程组()βααα=x 321,,无解,此时β不能由321,,ααα线性表示;(2) 当1,2≠=a b 时,线性方程组()βααα=x 321,,有唯一解:()()TTx x x x 0,2,1,,321-==于是β可由321,,ααα唯一线性表示为: 212ααβ+-=(3)当1,2==a b 时,线性方程组()βααα=x 321,,有无穷多个解:()()TTk x x x x 0,2,1)1,1,2(,,321-+-==其中k 为任意常数,这时β可由321,,ααα线性表示为:321)2()12(αααβk k k ++++-=五、（10分）作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时，其体积V 最小，并求出该最小值。

解：设圆锥底面贺半径为R,如图所示,R BC r OD OC h SC ====,,,因为,SD OD SC BC =所以,)(22rr h r hR--=从而有,22hrh rh R -=于是圆锥的体积为,233)(222r h h r h R h V -==ππ其中,2+∞<(),243)(222r h rhh r h V --='π由0)(='h V 解得)(0,4舍去==h r h ,由于圆锥的最小体积一定存在,且r h 4=是)(h V 在),2(+∞r 内的唯一驻点,所以当r h 4=时圆锥的体积最小,最小体积为:3824)4(3)(322r r r r r h V ππ=-=.六、（20分）一架敌机正以匀速v 沿y 轴正向飞近我国东海防空识别区,当飞机行至东海防空识别区边缘(即为坐标原点O)被我国雷达发现,此时在x 轴上点(x 0,0)( x 0>0)处有我国的052D 型驱逐舰,该舰接到命令向敌机发射导弹进行攻击,设导弹的速度方向始终指向敌机,其速度大小为常数2v ,(1)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件;(2)求导弹运行轨迹方程及导弹自发射到击中敌机所需的时间T.解:(1)设导弹运行轨迹方程为y=y(x),在某时刻t ≥0,敌机的位置为B(0,vt),导弹的位置为A(x,y(x)),因导弹的速度方向始终指向敌机,从而在时间t, 导弹运行轨迹的切线斜率dx dy 等于线段AB 的斜率xyvt --0,即vt y dxdy x -= 两边对x 求导得:dx dtv dxy d x -=22 (1)又导弹的速度大小为常数2v,得22212??? ??+-=?????+??? ??=dx dy dt dx dt dy dt dx v这里取负号的原因是x 随t 的增大而减少,代入(1)式,得 222121??? ??+=dx dy dx y d xy=y(x)满足的初始条件0)(,0)(00='=x y x y(2)令dxdyp =,方程变为 ?????=+=0)(12102x p p dx dp x解得0ln )1ln(02=+++x xp p ,即有?????=??????-==0)(21000x y x x x x p dx dy于是求得导弹的轨迹为,332)(000xx x xx x x y -+=当导弹击中飞机时,其横坐标x=0,代入即得,32)0(0x y = 令0)0(=-y vT 求得vx T 320=.导弹自发射到击中敌机所需的时间为vx T 320=.七、（10分）设函数?+=x dt t t x f 11ln )(.其中x >0,求)1()(xf x f + 解:法1. ?+=x dt t t x f 111ln )1(,令y t 1=得??+=+=x x dt t t tdy y y y x f 11)1(ln )1(ln )1(,所以有x dt t t dt t t t t dt t t t t dtt t tdt t t xf x f x x xx x 211111ln 21ln 11111ln )1(111ln )1(ln 1ln )1()(==??? ??+-++=??????+++=+++=+????? 法2.设)1()()(xf x f x F +=,则有xx xx x x x dx x df dx x df x F ln 111ln11ln )1()()(2=+?-+=+='所以有C x dx x x x F +==?2ln 21ln )(, 由于C dx F +===?1ln 2111ln )1(02和0=C ,所以有x xf x f x F 2ln )1()()(=+= 八、（10分）讨论无穷级数∑∞=+++++1)!2()!1(!2k k k k k 的敛散性,如果收敛求其和解:因为对任意正整数有k k k k k k k k 21)!1(1)!2(2)!2()!1(!2≤+=++≤+++++而等比级。