小学（数学）奥数知识总结手册.doc

小学（数学）奥数知识总结手册和差倍问题和差问题 和倍问题 差倍问题已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差) ÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差) ÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数求出同一条件下的关键问题和与差 和与倍数 差与倍数年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量” ，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；植树问题基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式 棵数=段数＋1棵距×段数=总长 棵数=段数－1棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的关键问题：确定对象总量和总的组数牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间） ；总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期关键问题：确定循环周期闰 年：一年有 366 天；①年份能被 4 整除；②如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除；平 年：一年有 365 天①年份不能被 4 整除；②如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；平均数基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1 ）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。

例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ② 4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 n>m，那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m ]+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时②k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时理解知识点：[X]表示不超过 X 的最大整数例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2 ；关键问题：构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算关键问题：正确理解定义的运算符号的意义注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示．基本思路：等差数列中涉及五个量：a 1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个基本公式：通项公式：a n = a1+（n－1）d；通项＝首项＋（项数一 1) ×公差；数列和公式：s n,= (a1+ an)×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：n= (a n+ a1)÷d＋1；项数=（末项-首项）÷公差＋1；公差公式：d =（ an－a 1） ） ÷（n－1） ；公差=（末项－首项） ÷（项数－ 1） ；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法……，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m 1+ m2....... +mn 种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法基本特征：每一种方法都可完成任务乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法……不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m 1×m2....... ×mn 种不同的方法关键问题：确定工作的完成步骤基本特征：每一步只能完成任务的一部分直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹直线特点：没有端点，没有长度线段：直线上任意两点间的距离这两点叫端点线段特点：有两个端点，有长度射线：把直线的一端无限延长射线特点：只有一个端点；没有长度①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一 1） ；②数角规律=1+2+3+…+ （射线数一 1） ；③数长方形规律：个数= 长的线段数 ×宽的线段数：④数长方形规律：个数=1 ×1+2×2+3×3+…+行数×列数约数与倍数约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数4、 几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有：1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有：1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来2、短除法：先找公有的约数，然后相乘3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数12 的倍数有：12、24、36、48……；18 的倍数有：18、36、54、72……；那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108……；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作[12，18]=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a2、常用符号：整除符号“|” ，不能整除符号“ ”；因为符号“∵” ，所以的符号“∴” ；二、整除判断方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25 整除3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除5. 能被 7 整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除6. 能被 11 整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。

7. 能被 13 整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除三、整除的性质：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b）也能被 c 整除2. 如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除3. 如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除余数及其应用基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得 a÷b=q……r，且 0

②已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 。