Strngart数学笔记：交换代数授课心得.pdf

代数 理想 运算 中的 反例 准 备交 换代 数的 讲座 的时 候 ， 发 现参 考书 上一 般就 只有 正面 理论 ， 反 例之 类就 得靠 自己来 补充 三 流的 老师 照本 宣科 根本 不会 想到 这一 点的 ， 二 流的 老师 会从 其他 地方 查一 些反 例塞 进来 ， 只 有像 Strongart这 样一 流的 Profesor才 会自 己来 构造 最自 然的 反例 ， 因 此讲 起课 来也 算是 行云 流水 了 记 得第 一次 理想 的运 算时 ， 总 觉得 有一 种不 协调 的感 觉 ， 特 别两 个理 想的 乘法 被定 义为积 的有 限和 为 什么 不直 接定 义成 积呢 ？那 是因 为要 保证 乘法 的结 果也 是理 想 假 若 I与 J是 环 R的 理想 ，简 单一 想： R(IJ)C(RI)JCIJ， 难道 IJ还 不是 理想 吗？ 关键 在于 除了 主要的 积条 件之 外 ， 还 有一 个和 条件 需要 满足 ， 也 就是 说必 须使 得 i1j+i2j=i3j， 这 里 i1、 i2、i3∈ I,j1、 j2、 j3∈ J.下 面我 们开 始反 例的 尝试 ，为 了 I与 J尽 量一 般化 ，取 R=k[x,y]为 域上 的多 项式 环 ，I=(x),J=(y)， 结果 却发 现 i1j、 i2j均 包含 因子 xy， 的确 能表 示成 i3j的 形式 。

怎 么回 事呢 ？回 头一 看 ， i1、 j1、 i2、 j2涉 及四 个字 母 ， 而 R只 是一 个二 元多 项式 ， 舞 台太 小了 耍不开 （和 本人 目前 的处 境相 似啊 ） ， 那就 干脆 充分 一般 化， 考虑 四元 多项 式环 R=k[x,yz,w],令 I=(x,y),J=(z,w)， 这 下 xz-yw中 每一 个都 是硬 邦邦 的未 定元 ， 显 然不 能表 示成 i3j的 形式 ！看 来运 算到 了高 层， 反倒 可能 被初 级的 加法 拖住 ，记 得当 年我 就一 直在 纠结 为什 么log(a+b)会 算不 动 ， 后 来发 现算 不动 的情 形在 数学 中比 比皆 是 ， 实 在需 要的 话还 是用 级数 来暴 力破 解吧 ！尽 管是 已经 找到 了反 例 ， 全 盘抛 弃似 乎不 是太 明智 ， 我 们还 是想 要尽 量挽 救一 下 在 点集 拓扑 中 ， 我 们经 常考 虑一 个包 含某 集合 的最 小闭 集 ， 称 为它 的闭 包 这 里也 可以 如法 炮制出 一个 包含 形如 ij， i∈ I， j∈ J的 最小 理想 ，不 妨也 把它 说成 是理 想包 ，但 官方 术语 似乎是 由形 如 ij， i∈ I， j∈ J的 元素 生成 的理 想。

如果 只是 定义 为积 的两 项之 和， 那么 再求 和的 话又 会变 成四 项， 只要 考虑 充分 多未 定元 的多 项式 环， 总是 能够 找出 相应 的反 例 因此 ，最 后只 能借 助 Hilbert'sHotel来 容纳 这样 的无 限结 构 ， 由 此构 造一 种无 限背 景中 的有 限和 ，定 义 IJ={i1j+… +inj:i1,… ,in∈ I,j1… ,jn∈ J,n∈ N}， 它 是所 有积 的可 能有 限和 的并 集 事 实上 ，这 种无 限背 景下 的有 限和 是为 避免 出现 真正 的无 限而 又想 要充 分扩 展有 限的 产物 ，无 限多 个 Abel群 的直 和就 是一 个典 型例 子， 更为 抽象 的例 子是 光滑 流形 上的 单位 分解 类 似考 虑 √ I， 关键 就在 于 x^p∈ I,y^q∈ I→ (x+y)^(p+q)∈ I， 这里 是指 数也 有一 种无穷 扩展 的趋 势 ， 因 此只 能把 √ I定 义为 所有 可能 次方 根的 并 除 了代 数算 子之 外 ， 理 想的 集合 算子 也有 类似 情况 ，比 如我 们可 以说 明两 个理 想的 并 I∪ J不 是理 想， 但是 由于 集合 的并在 数学 中已 经根 深蒂 固 ， 因 此也 就不 再专 门定 义理 想的 并了 ， 实 在要 说的 话 ， 那 就说 是由 集合 I、 J生 成的 理想 。

至 于这 两个 反例 ，请 读者 能够 自行 构造 ，实 在找 不出 来的 话， 就等 着看 我的 教学 视频 吧半单 环上 的模 特征 小结 记 得刚 开始 学模 的时 候 ， 总 觉得 其中 有一 种不 协调 感 ， 后 来知 道是 主角 与配 角之 间的 关系 有点 错乱 ， 作 为系 数的 环似 乎喧 宾夺 主的 成了 主角 ， 但 是这 也使 得环 与模 的关 系非 常密 切 下 面我 就结 合最 近学 到的 东西 ，以 半单 环上 的模 特征 为例 作一 个小 结 先 看这 样的 一个 命题 ： ArightringRisvon-NeumanregularingifevryightR-moduleisdivsible.其 实直 观上 也容 易理 解， 类比 于 semismplering中 anyrightideal均 可作 为直 和加 项， 在 von-Neumanregularing中 的 principalrightideal是直 和加 项 ， 而 divsiblemodule则 等价 于 principalyinjective， 后 者是 指 BaerCiterion中 的 anyrightideal换 成 anyprincipalrightideal， 可以 视为 我们 熟知 的结 论injective→ divsible的 本质 解释 。

我 们还 可以 从另 一个 角度 看这 个问 题 ， 初 级教 科书 中一 般只 在 domain上 介 绍 divsiblemodule， 其实 可以 推广 到一 般环 上如 下： AR-moduleMisdivsibleiforanyu∈ Manda∈ R,(foranyx∈ R,ax=0→ ux=0)→ u∈ Ma.我 们把 它推 广到 相应 的族 ，就 得到 fulydivsible的 概念 ，也 就是 说： AR-moduleMisfulydivsibleiforany{u_i}CMand{a_i}CR,(forany{x_i}CR,Σ a_ix_i=0→Σ u_ix_i=0)→ u_i=va_i， v∈ M.可 以证 明， fulydivsible与 injective也 是等 价的 在 初级 环论 中， 我们 知道 semismple→ von-Neumanregular→ Jacobsonsemismple，一 个自 然的 问题 就是 它们 对应 的模 有什 么性 质？ 事实 上， 我们 还有 命题 ： A(right)ringRisemismpleringifevryrightR-moduleisinjective， 这与 上文 中 的injective→ divsible高 度契 合。

如果 我们 知道 相应 环上 模之 间关 系， 就可 以导 出相 应的环 的关 系 ， 但 反过 来却 是不 行的 ， 理 由是 这样 的模 未必 一定 是相 应环 上的 模 事 实上 ， 我 们还 有 A(right)ringRisemismpleringifevryrightR-moduleisprojective，ArightringRisvon-NeumanregularingifevryrightR-moduleisflat， 这些 都是 很漂 亮的 命题 ， 但 对于 一般 的模 ， 显 然 injective不 意味 着 projective， divsible也 不意 味着 flat.对 于 Jacobsonsemismplering， 我 也想 找一 下相 应模 的特 征 ， 开 始我 猜想 是 rad(M)=0.后 来发 现 ArightringRisV-ringiforanyrightR-moduleM,rad(M)=0.这 样的 rightV-ring在 交换 的情 形下 重合 于 von-Neumanregularing， 考虑 一般 紧集 上的 连续 函数 环 ，就 知道 von-Neumanregularing并 不是 都是 Jacobsonsemismplering， 因此 我的 猜想是 错误 的。

但这 样的 rightV-ring有 个等 价条 件是 anyrightidealI≠ Risanintersectionfmaximalrightideals， 因此 anyquotientofRisJacobsonsemismplering.特 别地 ，它 自身 也应 该是 Jacobsonsemismplering， 这多 少还 是值 得欣 慰的 我 查了 手头 的代 数书 ，似 乎都 没找 到 Jacobsonsemismplering的 模特 征， 甚至 连交换 的情 形也 没有 ，看 来问 题并 不是 太简 单的 但 是就 von-Neumanregularing而 言， 有这 样一 个有 趣的 命题 ： AcomutaiveRisvon-NeumanringifevrysimpleR-moduleisnjectiveifevrysimpleR-moduleisdivsible.如 果在 模的 上面 再加 上一 些修 饰 ，结 论自 然要 弱一 些 ， 但 Jacobsonsemismple正 好就 是比 较弱 的 ， 也 许最 终只 能得 到这 样稍弱 的命 题， 当然 这还 有待 于进 一步 的探 索。

本 文作 者 Strongart是 一位 自学 数学 的牛 人 ， 现 在他 依然 努力 坚持 自学 数学 ， 似 乎又 有了 新的 突破 ， 还 录了 一些 数学 专业 教学 视频 放在 网上 然 而 ， 他 却一 直没 有收 到专 业人 士的邀 请 ， 至 今只 能依 靠网 络书 店购 买书 籍 ， 无 法获 取海 量的 论文 资料 ， 也 没有 机会 和一 流的 学者 们交 流 ， 最 后只 能走 上娱 乐拯 救学 术的 道路 ， 这 不论 对他 自己 还是 对中 国的 数学 事业 都将是 一个 损失 这 里我 希望 一些 有识 之士 能够 用自 己的 实际 行动 支持 一下 ！ 欢 迎 大 家 二 次 分 享 此 文 档 ， 请 注 明 文 档 作 者 Strongart， 欢 迎 访 问 Strongart的新浪博客 。