高二数学人教B版必修4学案：215向量共线的条件与轴上向量坐标运算含解析.doc

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算【明1=1标、知重点】1.理解平行向最定理，能熟练运用该定理处理向最共线和三点共线问题2 理解轴上向量坐标的含义及运算3能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.填要点•记疑点1. 平行向量基本定理(1) 平行向量基本定理:如果a=/b>贝0 反之,如果a//b,且方H0,则一定存在唯一一个实数久,使a=Ab.(2) 0的单位向量：给定一个非零向量a,与a同方向口长度等的向量，叫做向量a的单 位向虽.记作例)，由数乘向虽的定义可知a=\a\a(｝或a0=命.2. 轴上向量的处标(1) 规定了方向和长度单位的直线叫做魏当在轴上选-定点0作为原点时，轴就成了数轴.(2) 轴上向量的处标：已知轴/,取单位向量e,使e的方向与轴/的方向相同，对•轴上任意 向：5 a, —定存在唯一实数x,使a=xe，单位向：8 e叫做轴/的基向虽，x叫做a在/上的 坐标(或数量).① 给定单位向量0，能牛成与它平行的所有向量的集合｛xe[x^R｝；② x的绝对值等于a的长；当a与e同方向时，x是正数,当a与e反方向时，兀是负数 于是在-条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一-*对应关系，我们就可用数值來表示向量. 3•轴上向量的坐标运算(1) 轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设b =x2e,贝ij a=b^x\=X2.(2) 轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a =X\e> b=x2ef 贝0 a+b=(x\+x2)e.⑶轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x l^OA=XiefOB=x2e, 贝ij AB=x^~Xy.(4)数轴上两点的距离公式：肿1=也二1丄1・探要点•究所然探究点一平行向虽基本定理思考1请观察a=m—n, b= — 2m + 2n,回答a、方冇何关系？ 答 因为b=—2a,所以°、方是平行向量.思考2若a、方是平行向量，能否得出b=0 为什么？答町以•因为a、b平行，它们的方向相同或相反.小结 ⑴由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果火工0)与b共线， 当且仅当存在唯一一个实数久，使b = Xa.(2)平行向量基本定理：如果a = Ab ,则a//b ；反之,如果a//b ,且方H0 ,则一定存在唯一 —个实数久，使a-Ab.例1己知切，血是不共线的向量，«=3ei+4e2,方=6创一込，则a与方是否共线？解若a与方共线，则存在疋R ,使a = Xb ,即 3® + 4e2 = z(6e)- 8e2),所以(3 - 62)引 + (4 + 8心2 = 0 ,〔3 ・ 62二0 ,因为引与£2不共线，所以' 「° 所以久不存在，[4 + 8x = 0 ,所以a与不共线.反思与感悟判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问题通常是假设存在， 再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存 在.跟踪训练1己知勺，血是共线向量，。

3创+402，b=6e\ — Se2f贝0a与方是否共线？解因为Cl , ^2共线，所以存在久W R ,使01 =久02 t所以 a = 3e} + 4e2 = (3A + 4)e2 ,b — 6® - 8^2= (6A - 8)^2 t 所以a二4所以a , b共线，当久二亍时,b = 0 , a , b也共线 综上，与〃共线.探究点二三点共线的判定 思考1若存在实数儿 使乔=久茫，则力、B、C三点的位置关系如何？答 山共线向量定理可得，4, B, C三点共线Q存在疋R,使繭=2荒.思考2已知O为平而/BC内任一点，若力、B、C三点共线，是否存在a、“WR,使荒= aOA+pOB,其中 a+0=l?答 存在，因/、B、C三点共线，则存在AeR,使花=屁.：.OC~OA=^OB~OA),/. 0C= (1 —X)OA +/10B.令 1一2=弘 k=R,则OC=aOA+pOB,且 a+p=\.思考3已知O为平而MC内任一点，若存在u, pWR,使OC=aOA+pOB. a+0=l,那 么A、B、C三点是否共线？答 共线，因为存在 a、0WR,使OC=aOA+pOB, H.a+0=1.a, 0C= aOA + (1— d)OB,：.OC=a,OA-\-OB~aOB ：.OC~OB=a{OA~OB):.BC=aBA, ・•・/、B、C三点共线.例2 已知两个非零向量引和血不共线，如M^=2e1 + 3e2,iC=6e1 + 23e2,cb=4e1-8e2,求证：A. B、D三点共线.证明BC = 6引 + 23^2 / CD — 4^| - 8© /・•・ BD 二 BC+CD = (6切 + 23^) + (4© ・ 8e2)二 10引 + 15e2.又 *：AB = 2切 + 3血,--BD = 5AB ,・•・乔、丽共线，且有公共点3.・・・力、B、Q三点共线.反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数久， 使 ED ,先证向量共线，再证三点共线.跟踪训练2已知任意两个非零向虽a, b,作OA=a+bf OB=a+2b, OC=a+3b.i^判断A. B、C三点之间的位置关系，并说明理由.W 因为繭=0B ・ OA = (a + 2b)・(a + h) = h , 花二荒・ OA = (a + 3b)・(a + b) = 2b , 故 ^AC = 2AB.因为花〃乔，且有公共点/ ,所以/、B、C三点共线.探究点三数轴上的分点坐标公式 思考1已知3为数轴上的两点，A. 3的坐标依次为心，兀2,若於N筋(久工一1),则P点的朋标是什么?答设P点朋标为X,则xi+Zr21 +2 -AP=X~X\, PB=X2~X> ・ X|=A(X2—x)/. ( 1 +2)X=X| +Zx2， 丁久工一1,思考2已知力，3为数轴上的两点，若乔=烧(好一\),则有：① 若尸位于线段内部，则久的取值范围是 ,特别地，若尸为线段的中点,贝 II A— ；② 若卩位于线段的延长线上，则久的取值范围是 :③ 若P位于线段的反向延长线上，则人的取值范围是 .答案①40 |；②2<—1；③一 lv2<0例3已知力、B、C为数轴上三点，且“=—2,肝=6,试求符合下列条件的点C的他标.(1MC=1O； (2)HC]=10； (3)\AQ = 3\BC\.解 (1)T/C 二 10 , »*»xc - Xj = 10 , *»xc =心 + 10 = 8.(2) V MC| = 10 , :.AC= 10 或/C二・ 10 ,当 AC — 10 时,Xc - Xj = 10 ,兀c 二兀力 + 10 = 8 ；当 AC— -10 时,x(j ~ Xj = -10, x(j= xj - 10 = -12.(3) •/ \AC\ = 3\BC\ , :.AC= 35CWUC = - 35C.当AC- 38C时,xc - Xa = 3(xc ■ xj ,• ・xc =㊁(3兀$ -心)=10.当AC— ~ 3BC时,Xc ~ Xj = - 3(xc - xb),・・.Xc = *3xb + Xa) = 4.反思与感悟 注意题目中AC= 10与\AC\=\0 ,\AC\ = 3\BC\与花二3疋,它们的含义不一样， 解题时要注意区分，避免出错.跟踪训练3已知数轴上彳、B两点的坐标X]、兀2,根据下列各题中的已知条件,求点彳的 坐标X1：0x2=3, AB=5；②兀2=一5, \AB\=2.解(X)AB = X2 - x| = 5 , «*«X] = ^2 *■ 5 = - 2.②二 *2 ■刈二 2 , »*»X2 ~ X\ = - 2 或 2.•'•%1 — X2 ~ ( - 2) = - 3 或 X]二兀2 ■ 2 二-7.当堂测•查疑缺1. 点C段M上，门篇兮’设黃=屈，则久的值为( )52答案B2. 已知M、P、N三点在数轴上，且点P的处标是5,MP=2,MN=&则点N的朋标为 答案113. 若非零向量a与〃不共线，ka+b与a+kb共线，贝ij实数A= 答案土1解析•: ka + b与a + kb共线，二存在实数久使屁r + b =久@ + kb) r(k ■久)a + (1 •入k)b = 0 r /• (Zr - 2)a = (kk • 1 )Z>.•九与"不共线Jmo hk-1=04. 如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、4B、/C和CD 的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明•:F、G分别是加?、/C的中点.:.FG = ^BC.同理，EH=^BC.:.FG = EH,同理寿二尿?.・・・四边形EFGH为平行四边形.［呈重点、现规律］1. 共线向量定理是证明三点共线的重要工具•即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2. 轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.40［分钟课时作业一、基础过关1 .设g|, 02是两个不共线的向量，若向量加=—。

ks (kw R)与向量n = e2—2创共线,则()A.£=() B.k=lC.k=2 D.A^=2答案D解析 当A二㊁时,m=・创+尹2 ,畀二-2ei +e2./. n = 2in ,此时，m , n 共线.2.已知点3的坐标为(加，力，庞的坐标为(兀，y),则点/的坐标为( )A・(/n~Xt n~y) B・(x—〃7, y~n)C•(〃? +x, n +y) D.(m + n, x +y)答案A解析 AB = OB- OA ,OA - OB + BA 二(m ,〃) + (・• y)=(加-x 9 n - y).3. 已知O是四边形肋CQ所在平jlri内的一点，且鬲、OB. oc. 5b满足等式OA+OC=OB+ OD,则四边形ABCD是(B.菱形D.等腰梯形A.平行四边形C.梯形答案A 解析 VO4 - OB = BA , 0D ・ OC=CD ,厉•场二 0b ・ OC , :.BA = CD 又•・•菇与db不重合，:・AB//CD且SB二CD.・・・四边形MCQ为平行四边形.4. 已知向量a、b,目石=a+2b, BC=~5a+6b, CD=la-2b,则一-定共线的三点是( )A.B、C、D B./、B、CC.A. B、D DM、C、D答案C解析 V^b = ic+cb = 2a + 4b = 2AB ,・・必、B、Q三点共线.5. 在平行四边形ABCD中，对角线/C与BZ)交于点0, AB+AD=)Ab,贝U久= .答案2 解析 由于四边形MCD为平行四边形 对角线肚与BD交于点0，:.AB + AD = AC = 2Ab ,6. Sep %是两个不共线的向量,关于向量方有①4=2切，〃=—2引； ②。

引一s’ b=~2e\+2e2；③ 4 = 4引一§02，〃 =引—百 02； ④ 0 =引+仑2，方= 2® —2^2.其中°,方共线的有 •(填序号)答案①②③7. 两个非零向量°、〃不共线.⑴若 4^=a+b, BC=2a+Sb, CD=3(a~b),求证：A. B、Z)三点共线;(2)求实数k使ka+b Ai 2a+kb共线.(1)证明 9：AD。