2015年考研数学一真题与解析.docx
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2015年考研数学一真题、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．血)一图1.设函数/(兀)在(一呵+Q上连续，其二阶导数广'(兀)的图形如右所示，则曲线y=/(x)在(-8,+8)的拐点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不在的点X=0•但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二导数都是正的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选(C)2•设y=1e2X+(X一3)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ayf+by=cex的一个特解，则(A)a=—3,b=2,c=—1(B)a=3,b=2,c=一1(C)a=—3,b=2,c=1(D)a=3,b=2,c=1【详解】线性微分方程的特征方程为尸2+ar+b=0，由特解可知r=2一定是特征方程的一个实根.如果R=112不是特征方程的实根，则对应于/(X)=cex的特解的形式应该为Q(x)ex，其中Q(x)应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r=1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得2a=—(2+1)=—3=>2=1，同时y*=xex是原来方程的一个解，代入可得c=—1应该选(A)3.若级数刀a条件收敛，则x=€3,x=3依次为级数刀na(x-1)«的nnn=1n=1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点数刀aXn在X=1处条件收敛,也就是这个幕级数的收敛为1,(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【详解】注意条件级数刀a条件收敛等价于幕级nnn=1n=1即limmga—n+1an=1，所以£na(x—1)n的收敛半径R=lim1nmgn=1na(n+1)an+1=1，绝对收敛域为(0,2)，显然x=,x=3依次为收敛点、发散点，应该选(B)4.设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=仏所围成的平面区域，函数/(x,y)在d上连续，则HF(x,y)dxdy=()D(A)J3del為f(rcos0,rsin0)rdr:142sin20(C)J3d0jf(rcos0,rsin0)dr4详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程12sin20也就是D：*:Q:—<0<—4311, b)a,deQ(C)aeQ,deQ(d)aeQ,deQ【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：方程组无穷解的充分必要条件是r(A)=r(A,b)<3，也就是(a-l)(a一2)=0,(d一l)(d一2)=0同时成立，当然应该选(D).6.设二次型f(x,x,x)在正交变换x=Py下的标准形为2y2+y2-y2,其中P=(e,e,e),若l23l23l23Q=C,-e,e)，则f(x,x,x)在x=Qy下的标准形为l32l23(A)2y2一y2+y2(B)l232y2+y2一y2l23【详解】Q=(el,-e3,e)=(e,e,e3)300l2l2J0-l(l00、(l00、所以QtAQ=00-lPTAP00lJ0l0>J0-l0丿C)2y2一y2一y2l23(D)2y2+y2+y2l23故选择(A)．7．若A,B为任意两个随机事件，则()0、(l00、(l00、l=P00l，QT=00-lPT0>J0-J0>J0l0>(l00、(2(l00、(2、00-ll00l=-lJ0l0>JJJ0-l0丿jl>(l0(A)P(AB)
