《高等代数》第八章习题及答案.docx

习题8.11. 证明：例8.1.3中的是V的一个线性变换.例 8.1.3 的描述：设 V= Matnxn(F),设 A6V,令 o(A)二A+A、贝ij Ge

££(V)・4. 在 V=F3 中，① 令o(ai，a?, a3)=(3ai-a2-3a3, ai+4a2・4a3，・2ai・a2).证明：是V的一个线性变换.② 令o(ai，a2，a3)=(3ai-a2, ai-4a3，a2a3).证明：不是V的线性变换.证 ①首先是V上的一个变换，又o((ai，a2, a3)+(bi，b2，b3))= o(a】+bi, a2+b2，as+b3)=(3(ai+bi)・(a2+2)-3血+3),( ai+bi)+4(a2+b2)-4(a3+b3),・2(ai+ bi)-( a?+ bi))=(3ai-a2-3a3，ai+4a2-4a3，-2ai-a2)+ (3bi-b2・3b3，bi+4b2-4b3，-2bi-b2)= o(ai，a2，a3)+o(bi，b2，bs)又 o(k(ai，a2，a3))=o(kai，ka2，ka3)=(3ka [ -ka2-3ka3, ka i+4ka2-4kaa, -2kai -ka2)=k(3ai-a2-3a3，ai+4a2-4a3，-2ai・a2)=ko((ai，a2，as))所以e<£(V).②当2公0, a3公0, k=2 时，o(2(ai，a2，a3))=(6ai-2a2，2a】-8a3，4a2H3)解方程组(2E-A)X=0,-1-1-1-12-1‘000<0得入2=入3=扁=2的特征子空间的一个基3. 设AeMatnxn(F).证明：。

是A的一个特征值的充分必要条件是|A|=0.证0是A的一个特征值的充分必要条件是|0E-A|=0,即|A|=0.4. 设AeMatnxn(F).证明：如果焉是A的一个特征值，则焉是人丁的一个特征值.证因为 ㈤E-A)T=(人oE-AT)矩阵转置其行列式不变，故|XoE-A|= |XoE-At|所以如果扁是A的一个特征值，则为)是AT的一个特征值.5. 设V是一个实数域R上的3维线性空间，oE/(V)・证明：一定有实特征值.证 假若在复数域内将的特征多项式分解成Q-m (入项2)(入-榭,由于多项式的非实数根成对出现，而且是一对共轴复根，所以必然有一个实根，从而一定有实特征值.6. 设2, -2, 3是nXn矩阵A的特征值，求(A2-3A-10En)的行列式.解因为2是nXn矩阵A的特征值，所以|A+2 En|=0.又因 (A2-3A-10En)=(A-5 En)(A+2 En)取行列式得 |A2-3A-10En|=|A-5 En| |2 En+ A |=07. 设AEMatnxn(F), g(x)GF[x].证明：如果归)是A的一个特征值，则g(Xo)是g(A)的一个特征值.证如果焉是A的一个特征值，则存在非零n维向量&使A&=*o&，从而A2&=A(Xog)=宿& , A3g= 谜，人陆=/说明人卢是矩阵Ak的特征值，设 g(x)=akXk+ak-ixk'l+...+aix+a()则 g(A)&= (akAk+ak-iAk-14-...+aiA+aoE)^= g(Xo) &所以g(Xo)是g(A)的一个特征值.8. 设V是数域F上的n维线性空间，设。

e<£(V),并切是可逆的.证明：如果如是的一个特征值，则Xo^O,并且"是°』的特征值.证 如果Xo是的一个特征值，则存在a£ V, a^O,使o(a)=?ioa因a是可逆的，存在a1使a1(o(a))= o_1(Xoa)= a由上式最后一个等式看出归)公0,否则a_1(X()a)=O,矛盾.从而令p=Mx,则0乏0,且所以寸是捉的特征值.9. 设AEMatnxn(R),满足ATA=En.证明：如果|A|=.1,则・1是A的一个特征值.证对ATA=En两边加A得ATA+A=En+A即 心丁+ En )A=En+A两边取行列式得|AT+ Enl |A|=|En+A|即 ・|En+A|=|En+A|从而 |En+A|=O所以-1是A的一个特征值.10. 设 ALMat(2n+i)(2n+i)(R)，满足 ATA=E2n+i-证明：如果|A|=1,则 1 是 A 的一个特征值.证 对ATA=E2n+i两边加(・A)得A「A-A=E2n+i-A即(AT-E2n+l)A=E2E-A两边取行列式得 |AT- E2n+l| |A|=|E2n+l-A|即 |E2n+|-A|=|E2n+|-A|从而 |E2n+l-A|=0故有 |A-E2n+i|=0所以1是A的一个特征值.11.9.设A, BeMatnxn(R).证明：①如果A是可逆的，则AB与BA有相同的特征多项式.②*如果A不是可逆的，证明上述结论同样成立.证 如果A可逆，对AB左边乘A%右边乘A得A-】ABA=BA,即AB与BA相似，所以有相同的特征多项式.习题8.5解答1 .在实数域R上,下面的矩阵是否可对角化？在复数域C上呢?2-2—3)"一3解 ①特征多项式f(A)=|AE-A|有3个实根1, 2, -2,所以所给矩阵在实数域R和复数域C上都可对角化.②特征多项式f(X)=|XE-A|有2个相等的实根1,解线性方程组(1E.A)X=O,即‘0 -1、X、〈0)显然只有一个线性无关的解，所以所给矩阵在实数域R和复数域C上都不可对角化.③ 令特征多项式fQ)=|人E-A|=O,艮|J2-3 -3 -2—1 A — 1 2 =(入 2+4)(A-4)=03 1 2在实数范围内有一个根4,在复数范围内有3个不相等的根4, 2i, -2i,所以所给矩阵在实数域R上不可对角化，在复数域C上可对角化.④ 令特征多项式f(X)=|XE-A|=O,即2-1 0 3—5 人—2 — 1 =(入-2)伏2-3入+5)=0-1 0 Z-2在实数范围内有一个根2,在复数范围内有3个不相等的根2, 3 + &, 3-所2 2以所给矩阵在实数域R上不可对角化，在复数域C上可对角化.2. 设1, -1, 2是3X3矩阵A的特征值，求(A2-2A+7E3)的行列式.解 设多项式g(x)=x2-2x+7,若入是A的特征值，则gQ)是g(A)的特征值,所以g(A)的特征值为6, 10, 7,从而g(A)可对角化，g(A)与下面对角形矩这相似600、010000所以(A2-2A+7E3)的行列式为420.3. 设(X1，&是A的属于不同特征值的特征向量，证明：ai+(X2不是特征向量.证 设(X】，&是A的分别属于特征值入左的特征向量，X*,假设(Xl+012也是A的某个特征值入的特征向量，则有A(ai+a2)=入(ou+(i2)=A(xi+&2另一方面 A(ai+a2)= Aai+Aa?= %i(xi+入从而 入a 1 +Xa2=入1 a 1 +入2(X2即 (X-Xi )a 1 +(X-X2)a2= 0这与ai，&线性无关相矛盾，说明ai+a2不是特征向量.4. 在实数域R上，下面的矩阵A是否可对角化？如果A可对角化,则求可逆矩阵C,使C』AC是对角矩阵.'001)(1 0‘13 0、①010②3 2-1③3 -2 -10<1 01>E T解①因为|XE-A|=20-102-1-102二(入+1)( VI)2所以A的特征值人1=-1,解方程组(・1E-A)X=O,-10-10-20、x2—o07-10-1入2=入3= 1・即解方程组(1E-A)X=O,即0-15、<0、zz0/*°1、-1011)1令c二0-1100、贝 lj C-iAC=0100b2-10 -1②因为|XE-A|=—■3-2 1—-10 2-1=入(X-2)2所以A的特征值Xi=O, X2=X3=2.解方程组（OE-A）X=O,即0-20x2—0r-i-3厂1T)1-b「1，得目=2解方程组(2E-A)X=0,即'1 0-1、"0)-3 0 1%2二0、—1 0 1 ；得对应的特征子空间的一个基&2二1A只有2个线性无关的特征向量，所以A不可对角化.2-1 -3 0③因为 |XE-A|= -3 2 + 2 1 =(X-1)( V3)(U4)0 1 2-1所以A的特征值1,入2=3,入3= -4.解方程组(1E.A)X=O,即解方程组(-4E-A)X=0,即-5 -3-3 -2"0 1-55、x2—ro>0/6—3、U 3-3、令。

0 250 -1p00则c】AC=03000-47、5. 设A是一个F上的3X3非零矩阵，证明：如果A3=0,则A不可对角化.证 若人是A的特征值，则仃是A，的特征值，因为A3=0,显然A，只有0特征值，所以A只有0特征值，即。