人教版高中数学课件：二次函数根的分布.ppt

二次函数的性质,秦皇岛市职业技术学校 李天乐,,,,,,,有两相等实根x1＝x2＝-,有两相异实根： x1,2＝,x＜x1或x＞x2,x1＜x＜x2,空 集,空 集,全体实数,没有实根,所有不等于－ 的实数,１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b (ab≠０)的图像只能是（ ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ,课前练习,C,2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数满足abc＜０,则它的图像可能是（ ）,B,3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（ ） Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ.,,,,4．若二次函数f(x)＝－２x2＋４x＋t的图像顶点的纵坐标等于１，则t的值是（ ）Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.２ Ｄ.－２,5．已知函数f(x)＝mx2＋２mx－３m＋６的图像如图所示，则实数m的取值范围是（ ）Ａ.m＞２ Ｂ.m＞Ｃ.m＞１ Ｄ.m＞０,C,B,A,6. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能,A,在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有（a≠0）：,①标准式：y＝ax2＋bx＋c；,②顶点式：y＝a(x－k)2＋m；,③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、 x2为方程ax2＋bx＋c＝0的二根).,例１ 已知二次函数y＝f(x)有最小值－３，且当x＝－３和x＝２时f(x)的值都是 ，求f(x)．,设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得,解:,解法一:,∴ f(x)＝２x2＋２x－ ．,解二 ∵ f（－３）＝f（２）＝ ， ∴ 抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝ ，即x＝－ ， 故其顶点坐标为（－ ，－３）．,设 f(x)＝a(x＋ )2－３．,∵ f(2)＝a (2＋,)２－３＝,∴ a＝,＝２．,.,∴ f(x)＝２x2＋２x－ ．,解三 由已知，x＝－３和x＝２是一元二次方程f(x)－ ＝０的两个实数根．,设 f(x)－ ＝a(x＋３)(x－２), 则 f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋ ．,又当x＝ ＝－ 时，f(－ )＝－３．,∴ a(－ ＋３)(－ －２)＋ ＝－３， － a＝－ ， a＝２．,∴ f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－ ．,,例2 已知函数f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。

a,b,,f(x)为二次函数，f(a)=f(b) ,f(x)的对称轴为,f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x) ,f(x)的对称轴为x=c,若x<0,,若x=0，,则1>2x>3x,∴ f(2x)< f(3x),则1<2x<3x,∴ f(2x)< f(3x),则1<2x<3x，,若x=0，,综上所得，f(2x)≤ f(3x)例3 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试证：(1)当b＜－2时，f(x)是递减函数；(2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥成立证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋c－ ， 抛物线的对称轴x＝－ ，当 b＜－2时, － ＞1(如图) ∴ 当b＜－2时， f(x),x∈[－1，1]是递减函数2)假设在x∈[－1，1]内在存在|f(x)|≥ ，则有－ ＜f(x)＜ ∴ f(－1)＝1－b＋c＜ ，f(1)＝1＋b＋c＞－,联立解得b＞－ 与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根．,例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。

变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求x12+x22的取值范围二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1＜x２＜m ，则应有Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， － ＜m，Δ＝b2－４ac＞０， 或 (x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)＜０．,,,x1,x2,,m,,,二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1>x２>m ，则应有Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， － >m，Δ＝b2－４ac＞０， 或 (x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)>０．,,,x1,x2,,m,,,(3)若x1＜m＜x2，则应有f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．,x1,x2,,m,,,(4)若m＜x1＜x2＜n，则应有Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０，f(n)＞０，m＜－ ＜n.,x1,x2,,m,,,,,n,,(5)若x1＜m＜n＜x2，则应有f(m)＜０，f(n)＜０．,,x1,x2,,m,,,n,例4 已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围．,解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件．,若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．,∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根．,如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１．,,,,,∴ －２≤m＜１．,由此得，实数m的范围是m≥ －２.,,,,,,,f(m)＜０,(x1－m)(x2－m)＜０,表示比较复杂，繁琐,。